Здравствуйте, master87!
Дано : система из 2х уравнений:
3·y² - 3·x·y + x² = 4
2·х² + x·y - y² = 8
Найти максимальное значение х0 + у0, где х0, у0 - решение системы уравнений.

Решение : Чтобы воочию увидеть все особенности заданных кривых 2-го порядка и застраховаться от ошибок и неполноты решения, лучше всего построить графики этих кривых.
Для построения графика на плоскости XOY выделим полный квадрат из первого уравнения:
3·y² - 3·x·y + x² = 4
y² - x·y = 4/3 - x² / 3
[y² - 2y·(x/2) + (x/2)²] = (x/2)² - x²/3 + 4/3
(y - x/2)² = x²·(1/4 - 1/3) + 4/3
y - x/2 = [$177$][$8730$](4/3 - x² / 12)
y = x/2 [$177$][$8730$](4/3 - x² / 12)
Ограничиваем Область определения действительными числами под радикалом :
4/3 >= x² / 12 , x² <= 16 , |x| <= 4

Проделаем то же со вторым уравнением :
2х² + x·y - y² =8
y² - x·y = 2х² - 8
[y² - 2·y·(x/2) + (x/2)²] = (x/2)² + 2х² - 8
(y - x/2)² = х²·(1/4 + 2) - 8
y - x/2 = [$177$][$8730$](2,25·х² - 8)
y = x/2 [$177$][$8730$](2,25·х² - 8)
Область определения : x² >= 8 / (9/4) = 32/9 , |x| [$8805$] 4·[$8730$]2 / 3 = 1,89

Решать систему Вы можете любым способом. Я предпочитаю вычислять в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad (без Маткада я часто ошибаюсь). Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Мы получили 4 точки M(x,y) с x-y-координатами 4х вариантов решения системы уравнений:
M1(-2,0) , M2(2,0) , M3(-2,-2) , M4(2,2) .
Очевидно, точка M4(2,2) имеет максимальное значение суммы координат x₄ + y₄ = 2+2 = 4
Ответ : максимальное значение суммы координат точки решения системы уравнений равно 2+2 = 4 .