Здравствуйте, dar777!
Формула углового перемещения выглядит в общем случае так :
[$966$](t) = [$966$]₀ + [$969$]₀·t + a·t²/2
В нашей задаче начальный угол [$966$]₀ и начальная угловая скорости [$969$]₀ НЕ заданы. Естественно полагать, будто они равны 0.

Сопоставляя уточнённую формулу [$966$](t) = a·t²/2
с заданным в условии законом [$966$](t)=А·t²
приходим к выводу : А·t² = a·t²/2
Значит, угловое ускорение a = 2A рад/сек² = 0.2 рад/сек²

Угол поворота радиус-вектора частицы в момент t1 равен [$966$](t1)
Угол поворота радиус-вектора частицы в момент t2 равен [$966$](t2)
Угловое перемещение частицы в интервале времени от t1 до t2 будет [$916$][$966$] = [$966$](t2) - [$966$](t2) - в радианах.
Полный оборот равен 2[$960$] радиан.
Значит, искомое число оборотов N, которые частица совершит в интервале времени от t1 до t1 будет
N = ([$966$](t2) - [$966$](t1)) / 2[$960$]

Для момента времени t2 вычисляем угловую скорость, как производную угла поворота по времени:
[$969$] = d[$966$](t) / dt

В этот момент Линейная скорость: V=[$969$](t2)*R = 0,08 м/с

Тангенциальное ускорение (направлено по касательной к окружности) находим, как производную Линейной скорости :
a[$964$] = dV / dt
Модуль Тангенциального ускорения имеет постоянное значение 0,02 м/с² .

Модуль Нормального ускорения (оно направлено к центру окружности) вычисляем по формуле
a_n = V(t)² / R
Я делаю вычисления в бесплатном приложении Маткад Ссылка1 , он вычисляет всё быстро и страхует меня от частых ошибок типа "человеческий фактор". Маткад-скриншот прилагаю.

Модули тангенциального и полного ускорений связаны формулой a[$964$] = a*cos([$945$])
Значит, искомый угол [$945$] между векторами тангенциального и полного ускорений в момент времени t2 будет равен
[$945$]= arccos(a[$964$] / a) = 1,3 рад = 73°

Решения похожих задач по Вашей теме Вы можете посмотреть на rfpro.ru/question/195905 , rfpro.ru/question/194284 , rfpro.ru/question/195300 , rfpro.ru/question/194916
Если что-то не понятно, спрашивайте в минифоруме.