Здравствуйте, naks1mok!

Необходимое условие существования локального максимума или минимума функции в точке - равенство нулю частных производных первого порядка в этой точке:

Оно, однако, не является достаточным, то есть в подобной точке (называемой также стационарной точкой) функция может и не принимать наибольшего или наименьшего значения (гарантируется только, что все точки максимума и минимума - стационарные). Достаточное условие существования максимума или минимума в стационарной точке:

При этом в точке максимума частные производные второго порядка

отрицательны, а в точке минимума - положительны.

В данном случае имеем






то есть имеется стационарная точка (2, 3), но она не является точкой локального максимума или минимума. Следовательно, наибольшее и наименьшее значение функция принимает на границе области D, образованной четырьмя отрезками: y[$8712$][0, 4] при x = 0 и x = 4, x[$8712$][0, 4] при y = 0 и y = 4.

При x = 0 функция принимает вид z = -2y - монотонно убывающая функция y. Следовательно, на отрезке [0, 4] она будет иметь наибольшее значение z = 0 в точке y = 0 и наименьшее значение z = -8 в точке y = 4.

При x = 4 функция принимает вид z = 2y - 12 - монотонно возрастающая функция y, которая будет иметь на отрезке [0, 4] наибольшее значение z = -4 в точке y = 4 и наименьшее значение z = -12 в точке y = 0.

Аналогично, при y = 0 функция имеет вид z = -3x - монотонно убывающая функция x, принимающая на отрезке [0, 4] наибольшее значение z = 0 в точке x = 0 и наименьшее значение z = -12 в точке x = 4, а при y = 4 z = x - 8 - монотонно возрастающая функция x, принимающая на отрезке [0, 4] наибольшее значение z = -4 в точке x = 4 и наименьшее значение z = -8 в точке x = 0.

Итак, функция z принимает в области D наибольшее значение z = 0 в точке (0, 0) и наименьшее значение z = -12 в точке (4, 0).