Здравствуйте, Zarefo10!
По определению ёмкости электрического конденсатора , заряд на обкладке пропорционален напряжению между обкладками q = CU .
Согласно условию задачи "Конденсаторы C1 и C3 были изначально заряжены до напряжений U1=10В и U3=30В соответственно". Значит, эти конденсаторы имели начальные заряды Q1n=C1 * U1 и Q3n=C3 * U3 . В условии не указана полярность зарядов (согласно либо встречно приложены векторы напряжений U1 и U3 ?). Будем решать для согласного варианта. А встречный Вы сможете рассмотреть самостоятельно по подобию, но с противоположным знаком.
Конденсаторы C2 и C4 не заряжены в исходном состоянии, значит, их заряды равны 0.

Требуется найти для начала "протёкший через резистор заряд q … после замыкания ключа". На Вашей схеме видно, что все элементы цепи: 4 конденсатора, резистор и ключ соединены последовательно. Значит, через все элементы протекает одинаковый ток и одинаковый заряд q .

В мини-форуме Вашего Вопроса Вы спрашивали: "в конденсаторах должна еще оставаться энергия. Почему?" - потому что если разряжать каждый конденсатор индивидуально, то он разрядится до нуля. Но в Вашей схеме конденсаторы C1 и C3 разряжаются на резистор только в первый момент после замыкания ключа. А затем ток, протекающий через все элементы, заряжает конденсаторы C2 и C4 в противодействующей полярности. По мере заряда C2 и C4 ток цепи ослабевает и асимптотически приближается к нулю.

В итоге напряжение конденсаторов C1 и C3 уменьшаются до значения U1k и U3k соответственно, а напряжения конденсаторов C2 и C4 возрастают от нулевого значения до U2k и U4k . Теоретически этот процесс перетекания зарядов длится бесконечно, но за время
t = 10 * R * Co все напряжения принимают установившееся значение с погрешностью, которой можно пренебречь для практических расчётов. Здесь Co - общая ёмкость батареи из всех 4х конденсаторов, соединённых последовательно
Co=1 / (1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + 1/C4) = 1 / (1/2 + 1/4 + 1/8 +1/8) = 1 мкФ .
Если сопротивлению резистора R задать некое популярное значение R= 1 кОм, то ждать процесс перетекания зарядов придётся не долго, всего
t = 10 * R * Co = 10 миллиСекунд.

Теперь надо грамотно составить уравнение с пониманием механизма процесса. Момент окончания процесса можно описать абстрактно:
U1k + U3k + U2k + U4k = 0 , что означает : сумма напряжений на всех элементах контура обнулилась, и ток прекратился. Тогда мы получим отрицательные значения U2k и U4k, как противодействующие начальным положительным напряжениям U1k + U3k .
А можно сразу сообразить, что векторы напряжений на конденсаторах C2 и C4 будут направлены встречно напряжениям на конденсаторах C1 и C3. И тогда момент окончания процесса можно описать другим уравнением:
U1k + U3k = U2k + U4k (пусть это будет формула1)
и в его решении значения U2k и U4k будут положительны. Мне больше нравится 2й, смысловой вариант, чем первый, абстрактный.

Заметим, что U1k=(Q1n-q)/C1 , а U3k=(Q3n-q)/C3 , потому что начальные заряды на конденсаторах C1 и C3 уменьшились на величину q .
U2k=q/C2 , U4k=q/C4 , потому что конечные заряды на конденсаторах C2 и C4 увеличились на величину q .
В формуле1 заменяем переменные U?k на их раскрытые выражения:
(Q1n-q)/C1 + (Q3n-q)/C3 = q/C2 + q/C4
Решаем математику переносом искомой величины q в правую часть равенства:
Q1n/C1 + Q3n/C3 = q (1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + 1/C4)
Тут уместно вспомнить, что Q1n/C1=U1=10 Вольт, Q3n/C3=U3=30 Вольт. А 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + 1/C4 = 1/Co (1 / 1мкФ)
И тогда можно получить изящное значение заряда, протекшего через резистор R :
q=(U1 + U3) * Co = (10+30)Вольт * 1мкФ = 40 мкКулон.

В задаче также требуется найти "общую энергию W, оставшуюся запасённой в конденсаторах к моменту прекращения тока в цепи". В вопросе не указано: в которых конденсаторах? Полагаем, что автор задачи подразумевал "во всех конденсаторах".
В конденсаторе C1=2мкФ было начально напряжение 10 Вольт, заряд Q1n=C1 * U1 = 2 * 10 мк = 20 мкКулон,
энергия E1n=С1 * U1^2 / 2 = 2мк *100 /2 = 100 мкДж = 0,1 мДж.

В конденсаторе C3=8мкФ было напряжение 30 Вольт, заряд Q1n=C3 * U3 = 8 * 30 мк = 240 мкКулон,
энергия E3n=С3 * U3^2 / 2 = 8мк *900 /2 = 3600 мкДж = 3,6 мДж .

В конденсаторе C3=8мкФ заряд убавился на 40 мкКулон. Значит, его напряжение стало U3k=Q3k / C3 = (Q3n-q) / C3 = 200 / 8 = 25 Вольт, энергия E3k=С3 * U3k ^2 / 2 = 8мк * 625 /2 = 2500 мкДж = 2,5 мДж.

В конденсаторе C1=2мкФ заряд убавился на 40 мкКулон. Значит, его напряжение стало U1k=Q1k / C1 = (Q1n-q) / C1 = -20 / 2 = -10 Вольт (пере-плюсовалось!), энергия E1k=С1 * U1k ^2 / 2 = 2мк * 100 /2 = 100 мкДж = 0,1 мДж (энергия обнулилась, но восстановилась с противоположным значением напряжения).

В конденсаторе C2=4мкФ заряд прибавился на 40 мкКулон. Значит, его напряжение стало U2k=q / C2 = 40 / 4 = 10 Вольт с полярностью противоположной U3 (с этим условием составлена формула1)! Энергия E2k=С2 * U2k ^2 / 2 = 4мк * 100 /2 = 200 мкДж = 0,2 мДж .

В конденсаторе C4=8мкФ заряд прибавился на 40 мкКулон. Значит, его напряжение стало U4k=q / C4 = 40 / 8 = 5 Вольт с полярностью противоположной U3 ! Энергия E4k=С4 * U4k ^2 / 2 = 8мк * 25 /2 = 100 мкДж = 0,1 мДж .

Осталось найти "общую энергию W, оставшуюся запасённой в конденсаторах к моменту прекращения тока в цепи". Суммируем:
W=E1k + E2k + E3k + E4k = 0,1 + 0,2 + 2,5 + 0,1 = 2,9 мДж .

"Найдите протёкший через резистор заряд q и выделившееся на нём количество теплоты Q после замыкания ключа" - q=40 мкКулон найдено выше, а количество теплоты Q находим вычитанием конечной энергии всех конденсаторов из исходной энергии конденсаторов C1 и C3:
Q = E1n + E3n - W = 0,1 + 3,6 - 2,9 = 0,8 мДж.

Трудоёмкие вычисления полезно проверять для выявления возможных, случайных ошибок. В Вашей задаче проверим числовые значения обоих частей равенства ключевой формулы1:
Суммарное напряжения изначально заряженных конденсаторов C1 и C3 снизилось до значения
U1k + U3k = 25-10 = 15 Вольт.
Суммарное напряжения изначально НЕзаряженных конденсаторов C2 и C4 повысилось до значения
U2k + U4k = 10 + 5 = 15 Вольт. Равновесие напряжений наступило, проверка успешна!