Здравствуйте, alenarebro!

Рассмотрим задачу 2. Она самая простая в решении. Имеем

Здравствуйте, alenarebro!

1. Пусть нам известны уравнения сторон AB (x-y-2=0) и AD (x-5y+6=0). Координаты точки A (точки пересечения сторон AB и AD) найдём, решив систему:



Её решением будет x = 4, y = 2, то есть A(4, 2). Так как в параллелограмме точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам, то точка C будет симметрична точке A относительно начала координат, то есть C(-4, -2).

Стороны CD и BC проходят через точку C параллельно сторонам AB и AD соответственно, поэтому их уравнения будут иметь вид x-y+с[sub]1[/sub]=0 и x-5y+с[sub]2[/sub]=0.
Коэффициенты с[sub]1[/sub] и с[sub]2[/sub] выбираем таким образом, чтобы координаты точки C удовлетворяли этим уравнениям. Получаем уравнения сторон CD (x-y+2=0) и BC (x-5y-6=0).

Зная уравнения сторон AB и BC, можно найти координаты точки B, решив систему:



Её решением будет x = 1, y = -1, то есть B(1, -1). Точка D будет симметрична точке B относительно начала координат: D(-1, 1).

Осталось составить уравнения диагоналей. Поскольку обе диагонали проходят через начало координат, их уравнения будут иметь вид y = kx. В частности, для диагонали AC, проходящей через точку A(4, 2) имеем y = x/2 или x-2y=0, а для диагонали BD, проходящей через точку B(1, -1) имеем y = -x или x+y=0.

3. Вектора a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub] и a[sub]3[/sub] будут линейно независимы в том и только в том случае, когда равенство [$955$][sub]1[/sub]a[sub]1[/sub]+[$955$][sub]2[/sub]a[sub]2[/sub]+[$955$][sub]3[/sub]a[sub]3[/sub]=0 лишь для [$955$][sub]1[/sub]=[$955$][sub]2[/sub]=[$955$][sub]3[/sub]=0. В данном случае

или, записав в виде системы:

Найдём определитель системы:

Так как определитель не равен 0, то однородная система имеет единственное решение [$955$][sub]1[/sub]=[$955$][sub]2[/sub]=[$955$][sub]3[/sub]=0 и вектора a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub] и a[sub]3[/sub] линейно независимы.
Разложение вектора k в базисе a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub] и a[sub]3[/sub] будет иметь вид

или в виде системы:

Решим систему методом Крамера:






то есть k = 2a[sub]1[/sub] - a[sub]2[/sub] - 3a[sub]3[/sub].

4. Запишем матрицу систему (включая столбец свободных членов):

Разделим первую строку на элемент первого столбца (1) и вычтем из всех последующих, домножив на соответствующие коэффициенты (3, 3 и 2), выбранные таким образом, чтобы обнулить остальные элементы первого столбца:

Повторим для второй строки (разделив её на 5 и вычтя из третьей и четвёртой строки, домножив на 2 и 3 соответственно):

Проделаем аналогичную операцию для третьей строки (разделив её на -11/5 и вычтя из четвёртой строки, домножив на 16/5):

Четвёртую строку просто разделим на соответствующий элемент (-5/11):

Получаем верхнюю треугольную матрицу (в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Теперь проделываем аналогичные операции "в обратном порядке" (снизу вверх): вычитаем четвёртую строку из остальных, домножив соответственно на -2, 14/5 и -17/11 (чтобы обнулить остальные элементы четвёртого столбца):

вычитаем третью строку из первой и второй, домножив соответственно на -7/5 и 1:

вычитаем вторую строку из первой, домножив на -1:

Получаем единичную матрицу и столбец свободных членов, элементы которого являются решением системы:


7. Из уравнения прямой

следует, что прямая проходит через точку M(0,-2,-1) и имеет направляющий вектор a = {3, 2, -1}. Так как плоскость проходит через прямую, то точка M принадлежит плоскости, а вектор a параллелен ей. Поскольку точка A принадлежит плоскости, то вектор MA = {5, 2, 5} будет также параллелен плоскости, а вектор

будет перпендикулярен ей, то есть являться нормальным вектором плоскости. С учётом того, что точка M принадлежит плоскости, её уравнение можно записать в виде

или, после раскрытия скобок и сокращения на общий множитель 4: