Здравствуйте, Посетитель - 399202!
Сразу предупреждаю, что в условии задачи имеется некорректность (типичное явление, когда объект выбирается без учёта его соответствия предлагаемой модели). Дело в том что разница энергии между системой из протона и свободного электрона и невозбуждённым атомом водорода не равна кинетической энергии свободных частиц относительно центра массы системы (что из-за разницы в массе примерно соответствует кинетической энергии электрона в системе отсчёт связанной с протоном). Эти энергии различаются на постоянную величину, которая называется энергией ионизации невозбуждённого атома.
Собственно, пока разность энергии системы из иона и электрона и энергии невозбуждённого атома превышает энергию ионизации, образование даже возбуждённого атома невозможно, а если эта величина меньше энергии ионизации, значит электрон уже захвачен в атом.
То есть, если свободный электрон захватывается с образованием возбуждённого атома, то при этом часть энергии несколько превышающая кинетическую энергию) обязательно будет выделена в момент захвата в виде фотона, а затем при переходе атома в невозбуждённое состояние будет излучён второй фотон с энергией соответствующей энергии данного возбуждённого состояния относительно невозбуждённого атома. При этом суммарная энергия двух фотонов равна сумме кинетической энергии и энергии ионизации, но энергию каждого фотона по отдельности можно определить только, зная энергетический уровень возбуждённого атома.

Теперь попробуем подсчитать, что же нам всё-таки дано.
Кинетическую энергию можно найти как с помощью нерелятивистской формулы W_k=m_ev²/2, так и с помощью релятивистской формулы:
W_k=m_ec²(1/[$8730$](1-(v²/c²))-1)=1,95[$183$]10^-5[$183$]m_ec²=10,0 эВ=1,61[$183$]10^-18 Дж
По крайней мере, это меньше, чем энергия ионизации, равная 13,6 эВ.

Если электрон с кинетической энергией 10 эВ захватывается протоном с образованием сразу невозбуждённого атома, то энергия фотона равна
E=10+13,6=23,6 эВ=3,80[$183$]10^-18Дж
и длина волны [$955$]=hc/E=5,24[$183$]10^-8м=52,4 нм

Если авторы задачи хотели длину волны фотона с энергией 10 эВ, то она равна
[$955$]=1,24[$183$]10^-7м=124 нм

Можно также отметить, что разность энергий между первым (невозбуждённым) и вторым энергетическими уровнями атома водорода равна 10,2 эВ. Если в том или ином процессе (в том числе при захвате электронов) образуются возбуждённые атомы водорода (и при этом условия процесса не приводят к возбуждению до строго определённой энергии), вполне вероятно, что большая их часть будет возбуждена именно до второго уровня, и при переходе в невозбуждённое состояние выделится фотон с длиной волны 122 нм. Но это не имеет реального отношения к кинетической энергии захваченного электрона (даже если авторы задачи намекали именно на эту величину).