Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
Раскрываем модуль:
f(x)=x²-4x+2a² при x>a²
f(x)=x²-2a² при x<a²
Находим производную
f'(x)=2x-4 при x>a²
f(x)=2x при x<a²

Эктремумами могут являться следующие точки:
а) 2x-4=0
x=2 при условии a²<2
f''(x)=2>0, то есть это минимум

б) 2x=0
x=0
при условии a²>0, то есть всегда, за исключением a=0
f''(x)=2>0, то есть это минимум

в) точка излома x=a²
будет экстремумом, если производные по обе стороны имеют разные знаки
2a²>0
2a²-4<0
(противоположный вариант заведомо неосуществим)
a²[$8712$](0; 2)
При этом производная слева отрицательна, а справа положительна - то есть это будет максимум
ситуация с a²=0 и a²=2 требует отдельного рассмотрения
при a²=0 слева от x=0 производная стремится к нулю, но не превышает его - эта часть функции невозрастающая. Справа от x=0 производная отрицательна. Точка излома не является экстремумом
при a²=2 справа от x=2 производная стремится к нулю, но не меньше его - эта часть функции неубывающая. Слева от x=2 производная положительна. Точка излома не является экстремумом

Итак, при a²[$8712$](0; 2), что соответствует a[$8712$](-[$8730$]2;0)[$8746$](0;[$8730$]2) имеются 3 экстремума: 2 минимума при x=0 и x=2 и максимум при a²[$8712$](0; 2)
В остальных случаях a[$8712$](-[$8734$];[$8730$]2][$8746$]{0}[$8746$]([$8730$]2;[$8734$]) максимума нет и имеется только 1 минимум (x=2 при a=0 и x=0 для всех остальных точек)

Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Функция распадается на 2 ветки
при x<a^2
x^2-2a^2

при x>a^2
x^2-4x+2a^2
Максимум может быть при x=a^2, если левая ветвь возрастает, а правая убывает в окрестности x=a^2
это будет, если 0<a^2<2
Кроме этого, имеются минимумы двух парабол в точке 0 и 2.
Если a=0, функция имеет вид
при x<0
x^2

при x>0
x^2-4x
она убывает слева и справа от точки 0, экстремума нет.
Если a^2>2
при x=0 имеется минимум.
Имеется минимум в точке 2.