Здравствуйте, Денис!

Исследуем сходимость ряда Его можно представить как сумму двух рядов: и

Ряд расходится, потому что каждый его член не меньше соответствующего члена гармонического ряда (равен члену гармонического ряда при и больше его при ).

Для ряда ряд составленный из абсолютных величин его членов, расходится, поэтому сам ряд не является абсолютно сходящимся. Выясним, является ли этот знакочередующийся ряд условно сходящимся, используя признак Лейбница:
а) проверим, выполняется ли неравенство для всех его номеров, начиная с некоторого:

Запишем последовательность неравенств, эквивалентных данному:





что выполняется для всех значит, и неравенство выполняется для всех номеров ряда;
б) найдём предел общего члена ряда:


Оба условия признака Лейбница для ряда выполнены, поэтому он условно сходится.

Значит, заданный ряд является суммой расходящегося и условно сходящегося рядов. Поэтому он расходится.

Вывод о расходимости заданного ряда ещё проще сделать, сравнив его общий член с общим членом гармонического ряда, который расходится:




Рассмотрим ряд Применим признак Даламбера:

поскольку числитель выражения эквивалентен а знаменатель эквивалентен Значит, рассмотренный ряд расходится.

С уважением.

Здравствуйте, Денис!
Общий член ряда a_n можно оценить следующим образом. Так как
2+(-1)ⁿ[$8805$]1
n-ln n[$8804$]n
то
a_n[$8805$]1/n
Так как ряд с общим членом 1/n (гармонический ряд) расходится, то рассматриваемый ряд также расходится.

Здравствуйте, Денис!
Исследуем сходимость ряда .
Общий член ряда .
Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится, поскольку ряд Дирихле при р>1 сходится.
Применим предельный признак сравнения. При вычислении предела учтём эквивалентность бесконечно малых величин arctg[$945$]~[$945$] при [$945$][$8594$]0.
Находим:

То есть рассматриваемые ряды эквивалентны. Следовательно, ряд также сходится.