Здравствуйте, John_the_Revelator!
Предложенная Вами задача есть в книге М. Н. Кирсанова "Решебник. Теоретическая механика" (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002), где на с. 322 имеется такой рисунок:
Этот рисунок отличается от того, который Вы привели в условии задачи, тем, что груз A соединён с малым шкивом блока B. В исходных данных задачи указаны и больший, и меньший радиусы блока B, поэтому логично предположить, что в Вашем рисунке имеется ошибка и нужно следовать рисунку из книги.
1. За независимые переменные, описывающие движение системы, примем переменную x
1, указывающую положение призмы относительно неподвижной системы отсчёта, и переменную x
2, указывающую положение груза A относительно призмы.
2. Изобразим задаваемые силы системы:
G[sub]A[/sub] - силу тяжести груза A,
G[sub]B[/sub] - силу тяжести блока B,
G[sub]C[/sub] - силу тяжести цилиндра C,
G[sub]D[/sub] - силу тяжести призмы D,
G[sub]E[/sub] - силы тяжести цилиндров E (рисунок ниже).
Соответственно двум обобщённым координатам найдём обобщённые силы
Q[sub]1[/sub] и
Q[sub]2[/sub]. Придадим системе два независимых обобщённых перемещения: [$948$]x
1, направленное вдоль оси x
1, и [$948$]x
2, направленное вдоль оси x
2.
Для определения обобщённой силы
Q[sub]1[/sub] будем считать, что [$948$]x
1 [$8800$] 0, а [$948$]x
2 = 0. Это значит, что по отношению к призме все остальные тела системы покоятся; вся система перемещается вправо на [$948$]x
1. Вычислим работу всех задаваемых сил на возможном перемещении [$948$]x
1 [$8800$]:
Работы остальных задаваемых сил равны нулю, потому что точки приложения этих сил перемещаются горизонтально, т. е. перпендикулярно их линиям действия. Коэффициент пропорциональности, стоящий в формуле (1) при [$948$]x
1, является обобщённой силой Q
1,[/formula] т. е.
Для определения обобщённой силы
Q[sub]2[/sub] будем считать, что [$948$]x
2 [$8800$] 0, а [$948$]x
1 = 0. Это значит, что призма покоится, а все остальные тела перемещаются по отношению к ней. На перемещении [$948$]x
2 работу выполняет сила
T[sub]A[/sub], действующая на груз со стороны нити:
Поэтому
3. Выразим кинетическую энергию системы через обобщённые скорости x
1' = v
1 и x
2' = v
2. Кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетических энергий:
K=KA + KB + KC + KD + 2KE.
Груз A имеет переносную скорость v
1 и относительную скорость (v
A)
отн = v
2, направленную противоположно переносной скорости. Для него
Блок B имеет переносную скорость v
1 и вращается с угловой скоростью [$969$]
B. Для него
Цилиндр C имеет переносную скорость v
1. Относительно призмы его центр масс перемещается со скоростью
(vC)отн = [$8730$](([$969$]BRBcos 30[$186$])2 + ([$969$]BRBsin 30[$186$])2)=[$8730$]((7v2/4 [$183$] cos 30[$186$])2 +(7v2/4 [$183$] sin 30[$186$])2),
а сам цилиндр вращается с угловой скоростью
[$969$]С = (vC)отн/RC = [$969$]BRB/RC=v2RB/(rBRC)=7v2/48.
Поэтому для цилиндра
Для призмы D
Для цилиндров E
Следовательно,
4. Находим потенциальную энергию системы:
5. Находим функцию Лагранжа:
6. Находим частные производные
и
и записываем систему уравнений Лагранжа второго рода в форме
или
откуда находим
Ответ: 3,82 м/с
2.
С уважением.