Здравствуйте, Елизавета!
Прядильно-ниточное производство выпускает нити 2 видов, для изготовления которых используется хлопок 1 и 2 сорта. На изготовление 1 тонны н/л требуется 102 кг x1 и 12 кг х2, На изготовление 1 тонны н/к требуется 14 кг x1 и 161 кг х2. Запасы хлопка на предприятии составляют соответственно 798 и 1050 кг. Прибыль от реализации 1 тонны н/л и н/к составляет 2268 и 3339 у.е.
Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась максимальной?
2268x1+3339x2[$8594$]max
102x1+14x2[$8804$]798
12x1+161x2[$8804$]1050
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ [duality in linear programming] — принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу.
F
*=798y1+1050y2
102y1+12y2[$8805$]2268
14y1+161y2[$8805$]3339
Связь между прямой и двойственной задачами устанавливается двумя теоремами.
1. “Теорема двойственности”. Если обе задачи имеют допустимые решения, то они имеют и оптимальные решения, причем значение целевых функций у них будет одинаково
Как в исходной, так и в двойственной задаче число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования
Как видно из рисунка, максимальное значение целевая функция исходной задачи принимает в точке В.
Координаты точки B находим из решения системы
102x1+14x2=798
12x1+161x2=1050
51x1+7x2=399
12x1+161x2=1050
X1=7 X2=6
Значение целевой функции равно
2268x1+3339x2=2268*7+3339*6=35910
Решение двойственной задачи находим аналогично
Координаты точки C находим из решения системы
102y1+12y2=2268
14y1+161y2=3339
y1=20 y2=19
Значение целевой функции равно
798y1+1050y2=798*20+1050*19=35910