Здравствуйте, DarkFaust!

1. Находим уравнения сторон треугольника:
- стороны [AB]






- уравнение стороны [AB] в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
- стороны [BC]






- уравнение стороны [BC] в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
- стороны [CA]



- уравнение стороны [CA] в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Последнее уравнение можно найти и сразу, учитывая, что ординаты точек A и C одинаковы (y = -4).

2. Находим углы треугольника по формуле нахождения угла между двумя прямыми:
- угол A (угол между прямыми (AC) (или (CA)) и (AB), отсчитываемый против часовой стрелки от прямой (AC) до прямой (AB))

- угол B (угол между прямыми (BA) (или (AB)) и (BC), отсчитываемый против часовой стрелки от прямой (BA) до прямой (BC))

- угол C (угол между прямыми (CB) (или (BC)) и (CA), отсчитываемый против часовой стрелки от прямой (CB) к прямой (CA))

Проверка:

как и должно быть.

3. Находим периметр треугольника:




Полупериметр треугольника составляет


4. Находим площадь треугольника:
а) по формуле


б) по формуле Герона





в) через определитель второго порядка



5. Находим уравнения медиан треугольника:
- опущенной на сторону [BC]
Обозначим через M середину стороны [BC]. Тогда

Искомая медиана проходит через точки A и M, поэтому






- уравнение медианы, опущенной на сторону [BC], в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
- опущенной на сторону [CA]
Обозначим через N середину стороны [CA]. Тогда

Искомая медиана проходит через точки B и N, поэтому



- уравнение медианы, опущенной на сторону [CA]. Его можно найти сразу, учитывая, что абсциссы точек B и N одинаковы (x = 7,5);
- опущенной на сторону [AB]
Обозначим через P середину стороны [AB]. Тогда

Искомая медиана проходит через точки C и P, поэтому






- уравнение медианы, опущенной на сторону [AB], в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

6. Находим координаты точки пересечения медиан.

Медианы треугольника пересекают в одной точке, называемой его центром масс. Обозначим эту точку через G. Чтобы найти её координаты, воспользуемся тем, что центр масс делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины. Тогда расстояние от вершины до центра масс составляет 2/3 длины медианы, и


- искомая точка пересечения медиан.

Проверка:


т. е. координаты точки C удовлетворяют уравнению медианы, опущенной на сторону [AB];


т. е. координаты точки C удовлетворяют уравнению медианы, опущенной на сторону [BC].

7. Находим уравнения высот треугольника:
- опущенной на сторону [BC]
Эта высота перпендикулярна стороне [BC] и проходит через точку A, поэтому


- уравнение высоты, опущенной на сторону [BC] в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
- опущенной на сторону [CA]
Эта высота перпендикулярна стороне [CA] и проходит через точку B. Треугольник ABC равнобедренный с основанием [CA] (см. пп. 2, 3), поэтому эта высота совпадает с медианой, опущенной на сторону [CA], а её уравнение суть (см. п. 5);
- опущенной на сторону [AB]
Эта высота перпендикулярна стороне [AB] и проходит через точку C, поэтому


- уравнение высоты, опущенной на сторону [AB] в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

8. Находим координаты точки пересечения высот треугольника.

Высоты треугольника пересекают в одной точке, называемой его ортоцентром. Решим, например, совместно уравнения высот, опущенных на стороны [AB] и [BC]:




что, впрочем можно было предположить заранее, учитывая, что треугольник равнобедренный, а его высота, опущенная на основание имеет уравнение Тогда, обозначив точку пересечения высот треугольника через P, получим
- искомая точка пересечения высот.

9. Находим уравнение окружности, описанной около треугольника.

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении его медиатрис (серединных перпендикуляров). Одной медиатрисой, поскольку треугольник равнобедренный, является его медиана (и высота), проведённые к стороне [AC]. За вторую возьмём медиатрису, проведённую к стороне [BC]. Эта медиатриса перпендикулярна стороне [BC] и проходит через её середину - точку M, поэтому



Решая совместно полученное уравнение с уравнением медиатрисы стороны [AC], получим


Следовательно, центр описанной около треугольника окружности находится в точке

Радиус описанной окружности а её уравнение имеет следующий вид:


Полагаю, что изобразить полученные результаты на рисунке для Вас не будет трудно.

С уважением.

Здравствуйте, DarkFaust!

1) Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]) и (x[sub]2[/sub], y[sub]2[/sub]), имеет вид:

В данном случае имеем:

или

откуда можно получить уравнения сторон в общем виде:

или


2) Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами прямых, который в свою очередь для векторов a и b определяется формулой:

В данном случае нормальные вектора прямых AB, BC и CA равны {16, -9}, {16, 9} и {0, 1} соответственно, откуда



и [$8736$]A = [$8736$]C [$8776$] 60[$186$]38', [$8736$]B [$8776$] 58[$186$]43', то есть имеем равнобедренный (почти равносторонний) треугольник.

3) Периметр треугольника равен сумме длин векторов AB = {4.5, 8}, BC = {4.5, -8}, CA = {-9, 0}, то есть:


4) Площадь треугольника ABC будет равна:

по формуле Герона (где p = P/2 = 4.5+[$8730$]84.25 - полупериметр треугольника):



5) Медиана - прямая проходящая через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Координаты средней точки отрезка равны среднему арифметическому координат концов, то есть в данном случае D(9.75, 0), E(7.5, -4) и F(5.25, 0) - середины сторон BC, CA и AB соответственно. Тогда канонические уравнения медиан будут:

или

откуда можно получить уравнения медиан в общем виде:

или


6) Поскольку все три медианы пересекаются в одной точке, достаточно найти точку пересечения любых двух из них. Например, для BE имеем 2x - 15 = 0, откуда x = 7.5, подставляя в уравнение AD: 16x - 27y -156 = 0, получаем -27y - 36 = 0, откуда y = -4/3, то есть точка пересечения медиан имеет координаты (7.5, -4/3).

7) Высота проходит через вершину треугольника перепендикулярно противоположной стороне, поэтому её направляющий вектор будет совпадать с нормальным вектором противоположной стороны. В данном случае для высот AK[$8869$]BC, BL[$8869$]CA и CM[$8869$]AB их направляющие вектора будут равны {16, 9}, {0, 1} и {16, -9} (см. п. 2, нормальные вектора прямых BC, CA и AB), откуда их каноническими уравнениями будут:

а уравнения в общем виде:

или


8) Поскольку все три высоты также пересекаются в одной точке, достаточно найти точку пересечения любых двух из них. Например, для BL имеем 2x - 15 = 0, откуда x = 7.5, подставляя в уравнение AK: 9x - 16y - 91 = 0, получаем -16y - 23.5 = 0, откуда y = -47/32, то есть точка пересечения медиан имеет координаты (7.5, -47/32).

9) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перепендикуляров, то есть прямых, проведённых через середины сторон треугольника перпендикулярно к ним. В данном случае, если O - центр описанной окружности, то серединными перепендикулярами будут прямые DO[$8869$]BC, EO[$8869$]CA и FO[$8869$]AB. Так как треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC), то высота, медиана и серединный перепендикуляр, проведённые к стороне AC, совпадают, то есть имеем

Серединный перепендикуляр DO будет проходить через точку D(9.75, 0) и иметь направляющий вектор {16, 9}, то есть его каноническим уравнением будет:

а уравнением в общем виде:

или

Точка O будет пересечением прямых EO: 2x - 15 = 0 и DO: 36x - 64y - 351 = 0. Из первого уравнения x = 7.5, подставляя во второе, получаем -64y - 81 = 0, откуда y = -81/64, то есть центр описанной окружности имеет координаты (7.5, -81/64). Её радиус можно найти как длину любого из отрезков OA, OB или OC, например:

откуда уравнение окружности будет следующим: