Здравствуйте, Андрей!

1. Область определения.


2. Точки пересечения с осями.
С осью ординат: не входит в область определения. С осью ординат график не пересекается.
С осью абсцисс: . С осью абсцисс график пересекается в точке .

3. Интервалы возрастания, убывания. Точки экстремума.

при и не существует при .
Функция убывает при . Точек экстремума нет.

4. Интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз. Точки перегиба.

(с учётом области определения),
(с учётом области определения).
- точка перегиба. .

5. Асимптоты.
Так как , то будет вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты:
не существует. Значит, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

6.

Здравствуйте, Андрей!

1. Находим область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т. е. должно выполняться неравенство (1 - x)/x [$8805$] 0. Это неравенство распадается на две системы неравенств:
1) 1 - x [$8805$] 0, x > 0;
2) 1 - x [$8804$] 0, x < 0.

Решая первую систему, находим: x [$8804$] 1, x > 0, т. е. 0 < x [$8804$] 1. Решая вторую систему, находим: x [$8805$] 1, x < 0 - эта система не имеет решений.

Следовательно, область определения заданной функции - числовой промежуток ]0; 1]. При x = 0 функция не определена ввиду невозможности деления на ноль.

2. Функция не является ни периодической, ни чётной или нечётной.

3. При x = 0 функция не определена, поэтому её график не пересекает ось ординат. Решая уравнение [$8730$]((1 - x)/x) = 0, получим 1 - x = 0, x = 1. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в точке (1; 0).

Функция принимает только неотрицательные значения. Поэтому её график целиком помещается в первой четверти координатной плоскости. При увеличении x числитель подкоренного выражения уменьшается, а знаменатель увеличивается. Значит, функция убывает на своей области определения.

4. Перепишем выражение для функции следующим образом: y = [$8730$]((1 - x)/x) = [$8730$](1/x - 1) и найдём её производную:
y' = 1/(2[$8730$](1/x - 1)) [$183$] (1/x - 1)' = 1/(2[$8730$](1/x - 1)) [$183$] (-1/x²) = -1/(2x²[$8730$](1/x - 1)).

Производная отрицательна и не принимает нулевого значения, следовательно, функция не имеет экстремумов. Будучи убывающей, функция принимает минимальное значение y_min = y(1) = 0, но не имеет максимального, впрочем, стремясь к бесконечности при стремлении аргумента к нулю: при x [$8594$] 0+ y = [$8730$](1/x - 1) [$8594$] [$8730$](1/0 - 1) = +[$8734$].

5. Находим вторую производную функции:

Поскольку в области определения функции x > 0 и 1 - x [$8805$] 0, постольку, приравнивая вторую производную нулю, получим
-(4x - 3) = 0, 3 - 4x = 0, x = 3/4 = 0,75 - точка перегиба графика функции;
при x < 0,75 y" > 0, график функции направлен выпуклостью вниз;
при x > 0,75 y" < 0, график функции направлен выпуклостью вверх.

6. Как было отмечено в п. 4, при x [$8594$] 0+ y [$8594$] +[$8734$], поэтому x = 0 - вертикальная асимптота графика функции.

Для удобства построения найдём
y(0,25) = [$8730$]((1 - 0,25)/0,25) = [$8730$]3 [$8776$] 1,7;
y(0,5) = [$8730$]((1 - 0,5)/0,5) = [$8730$]1 = 1;
y(0,75) = [$8730$]((1 - 0,75)/0,75) = [$8730$](1/3) [$8776$] 0,6.

Строим график функции.



С уважением.