Здравствуйте, Максим!

Координаты вектора A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] будут равны {7-2, 6-4, 3-3} = {5, 2, 0}, а его длина составит |A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]| = [$8730$]5[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup]+0[sup]2[/sup] = [$8730$]29.

Аналогично, A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] = {3-2, 6-4, 7-3} = {1, 2, 4} и |A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub]| = [$8730$]1[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup] = [$8730$]21. Тогда угол между A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] и A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] определяется по формуле:


Площадь грани A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]A[sub]3[/sub] можно найти через векторное произведение A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] = {5, 2, 0} и A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub] = {4-2, 9-4, 3-3} = {2, 5, 0} по формуле:


Аналогично, объём пирамиды можно найти через смешанное произведение любых трёх векторов с общим началом (например, A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub], A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub] и A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub]) по формуле:


Уравнение прямой A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] найдём, воспользовавшись тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей прямой, вектора A[sub]1[/sub]M и A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] будут коллинеарны, то есть их координаты будут пропорциональны:

что даёт нам каноническое уравнение прямой.

Уравнение плоскости A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]A[sub]3[/sub] найдём, воспользовавшись тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора A[sub]1[/sub]M, A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] и A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub] будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:




Вектор {0,0,1} является нормальным вектором плоскости A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]A[sub]3[/sub], следовательно, для высоты, опущенной на плоскость (т.е. перпендикулярной ей), он будет направляющим. Если высота проходит через точку A[sub]4[/sub](3,6,7), то её каноническое уравнение будет:


Угол между прямой A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] с направляющим вектором a = {1, 2, 4} и плоскостью A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]A[sub]3[/sub] с нормальным вектором n = {0,0,1} найдём по формуле: