Здравствуйте, Ankden!
1) Линейность.
f([$945$]x+[$946$]y)=[$8747$]_-1¹t([$945$]x(t)+[$946$]y(t))dt=[$945$][$8747$]_-1¹tx(t)dt+[$946$][$8747$]_-1¹ty(t)dt=[$945$]f(x)+[$946$]f(y)
2) Ограниченность. Так как |t|[$8804$]1, то
|f(x)|[$8804$][$8747$]_-1¹|t||x(t)|dt[$8804$][$8747$]_-1¹|x(t)|dt=||x||,
следовательно, ||f||[$8804$]1
3) Норма. Пусть 0<[$963$]<1 и
x(t)=-1 при -1[$8804$]x[$8804$]-1+[$963$]
x(t)=0 при |x|<1-[$963$]
x(t)=1 при 1-[$963$][$8804$]x[$8804$]1
Тогда
f(x)=2[$8747$]_1-[$963$]¹tdt=2[$963$]-[$963$]²
||x||=2[$8747$]_1-[$963$]¹dt=2[$963$]
Таким образом, при любом [$963$] величина |f(x)|=(1-[$963$]/2)||x||.
Отсюда следует, что при любом [$963$] ||f||[$8805$]1-[$963$]/2 ---> ||f||[$8805$]1
Из 2 и 3 следует, что ||f||=1.