Здравствуйте, Посетитель - 386361!

2. Воспользуемся признаком Даламбера: для степенного ряда



радиус сходимости определяется выражением



то есть ряд сходится при |x-x[sub]0[/sub]| < R и расходится при |x-x[sub]0[/sub]| > R (при |x-x[sub]0[/sub]| = R ряд может как сходиться, так и расходиться).

В данном случае

и


Отсюда |x|<4, то есть ряд сходится при -4<x<4. Исследуем сходимость ряда на границе. При x = 4 имеем ряд

для которого

то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда (lim a[sub]n[/sub] = 0). При x = -4 имеем знакочередующийся ряд

для которого необходимое условие сходимости также не выполняется. Следовательно, область сходимости исходного ряда - (-4, 4).

3. Для функции cos x разложение в степенной ряд (ряд Тейлора) имеет вид:

Соответственно, для cos [$8730$]x = cos x[sup]1/2[/sup] будем иметь

При почленном интегрировании последнего ряда получаем

При x = 0 все члены ряда равны 0, поэтому значение определённого интеграла находим, подставляя в выражение для ряда x = 0.5:



4. По теореме Коши для функции f(z), аналитической во всех точках контура C и внутри контура, за исключением особых точек z[sub]1[/sub],... z[sub]n[/sub], контурный интеграл равен

где Res f(z[sub]k[/sub]) - вычет в особой точке z[sub]k[/sub]. Для полюса кратности n вычет может быть вычислен по формуле:

В частности, для простого полюса (n=1) вычет равен



В данном случае подинтегральная функция имеет две особые точки: простой полюс z = 0 и полюс z = -i кратности 2, причём оба лежат внутри контура C: |z|=2. Найдём вычеты для этих точек:





Тогда



5. Для дифференциального уравнения первого порядка имеем



где x(t) [$8658$] X(p) и f(t) [$8658$] F(p). В данном случае f(t) = 4e[sup]t[/sup] [$8658$] 4/(p-1), b = 1, x(+0) = 2 и



откуда



и



Учитывая, что 1/(p-a) [$8658$] e[sup]at[/sup], получаем оригинал изображения: