Здравствуйте, Влад Алексеев!

Вычислить при помощи тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 4, y + z = 2, z = 0.

В рассматриваемой задаче требуется найти объём половины кругового цилиндра, основанием которого является окружность x² + y² = 4 (её радиус равен двум), а высота равна четырём. Применяя формулу из элементарной геометрии, находим
V = 1/2 [$183$] п [$183$] 2² [$183$] 4 = 8п.

На рисунке показано сечение рассматриваемой фигуры плоскостью x = 0.



Посмотрим, что получится при использовании тройного интеграла. Чтобы упростить его вычисление, найдём в полярных координатах половину объёма кругового цилиндра, как мы сделали это выше. Переходя к цилиндрическим координатам, получим
x = 2 [$183$] cos [$966$], y = 2 [$183$] sin [$966$], [$961$]² = x² + y², z = z. Угол [$966$] изменяется от нуля до 2п, полярный радиус [$961$] - от нуля до двух, координата z - от нуля до четырёх;
V = 1/2 [$183$] _V[$8747$][$8747$][$8747$]dxdydz = 1/2 [$183$] _G[$8747$][$8747$][$8747$][$961$]d[$961$]d[$966$]dz = 1/2 [$183$] ₀[$8747$]²[$961$]d[$961$]₀[$8747$]^2пd[$966$]₀[$8747$]⁴dz = 1/2 [$183$] 8п [$183$] ([$961$]²/2)|₀² = 8п,
как и должно быть.

Ответ: 8п.

С уважением.