Здравствуйте, Ольга Никанова!

11. Пусть нам известны уравнения стороны AB (x-5y+3=0) и диагонали AC (2x-y-3=0). Координаты точки A (точки пересечения стороны AB и диагонали AC) найдём, решив систему:



Её решением будет x = 2, y = 1, то есть A(2, 1). Так как в ромбе (и в любом параллелограмме) точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам, то, зная координаты точки M(1, -1) и точки A, можно найти координаты точки C - C(0, -3).

Кроме того, так как диагонали ромба перпендикулярны, то можно найти уравнение диагонали BD, как прямой, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC. Уравнение будем искать в виде Ax+By+C=0. Так как AC[$8869$]BD, то должно выполняться условие 2A-B=0 и можно положить A = 1, B = 2, а значение C найдём, подставив в уравнение координаты точки M. Получим x+2y+1=0.

Зная уравнения стороны AB и диагонали BD, можно найти координаты точки B, решив систему:



Её решением будет x = -11/7, y = 2/7, то есть B(-11/7, 2/7). Так как M - середина BD, то можно найти координаты точки D - D(25/7, -16/7).

Теперь, зная координаты всех вершин ромба, можно составить уравнения сторон. Для стороны BC имеем:



или



откуда 23x+11y+33=0 - уравнение стороны BC. Противоположные стороны ромба (как и любого параллелограмма) параллельны, поэтому их уравнения будут отличаться только свободным коэффициентом C, то есть уравнения сторон CD и DA будут иметь вид x-5y+С=0 и 23x+11y+С=0. Подставляя в первое из них координаты точки C, а во второе - координаты точки D, получаем x-5y-15=0 - уравнение CD и 23x+11y-57=0 - уравнение DA.

12. Пусть нам известны уравнения стороны AB (2x-5y-3=0) и диагоналей AC (-x+2y+2=0) и BD (x-y=0). Координаты точки A найдём, решив систему:



Её решением будет x = 4, y = 1, то есть A(4, 1). Аналогично, координаты точки B найдём, решив систему:



Её решением будет x = -1, y = -1, то есть B(-1, -1). Наконец, найдём точку пересечения диагоналей, решив систему:



Получаем x = -2, y = -2, то есть M(-2, -2) - точка пересечения диагоналей. Она является серединой обеих диагоналей, что позволяет найти остальные вершины - C(-8, -5) и D(-3, -3).

Теперь, зная координаты всех вершин параллелограмма, можно составить уравнения сторон. Для стороны BC имеем:



или



откуда 4x-7y-3=0 - уравнение стороны BC. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, поэтому их уравнения будут отличаться только свободным коэффициентом C, то есть уравнения сторон CD и DA будут иметь вид 2x-5y+С=0 и 4x-7y+С=0. Подставляя в них координаты точки D, получаем 2x-5y-9=0 - уравнение CD и 4x-7y-9=0 - уравнение DA.