Здравствуйте, lasan!

Здравствуйте, lasan!

Во втором задании необходимо исследовать на сходимость ряд
1 + (x + 2) + (x + 2)² + (x + 2)³ + ... .
Здесь a_n = a_{n + 1} = 1. Найдём радиус сходимости ряда:
при n [$8594$] [$8734$]
|a_n/a_{n + 1}| = 1,
значит, радиус сходимости ряда R = 1, и ряд сходится для значений -1 < |x + 2| < 1, то есть при -3 < x < -1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При x = -1 получаем ряд
1 + 1 + 1 + 1 + ...,
который расходится, потому что для него не выполняется необходимое условие сходимости.
При x = -3 получаем ряд
1 - 1 + 1 - 1 + ...,
который расходится, потому что для него не выполняется первое условие признака Лейбница.

Значит, интервал сходимости ряда ]-3; -1[.

Ответ: ряд сходится на интервале ]-3; -1[.

С уважением.

Здравствуйте, lasan!
3) Воспользуемся признаком Коши. Вычисляем
q=lim(a_n)^1/n=limarcsin{(n+1)/[2(n+3)]}=arcsin(1/2)=Pi/6<1
Так как q<1, то ряд сходится.

Здравствуйте, lasan!

В последнем задании воспользуемся радикальным признаком Коши: знакоположительный ряд сходится, если



В данном случае



и



Следовательно, ряд сходится.