Ещё один вариант решения: введём систему координат, взяв за начало точку C, а оси направив вдоль катетов треугольника. Пусть точка F - середина гипотенузы, центром квадрата будет точка O, являющаяся концом отрезка FO такого, что FO[$8869$]AB и |FO| = |AF| = |BF| = |AB|/2 (половина стороны квадрата). Тогда точки будут иметь следующие координаты: A(a,0), B(0,b), F(a/2, b/2); вектор AB будет иметь координаты (-a, b) и длину [$8730$]a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]. Так как вектор FO перпендикулярен вектору AB и вдвое короче его, то его координаты, очевидно, будут равны (b/2, a/2). Тогда для точки O имеем x[sub]O[/sub] = y[sub]O[/sub] = (a+b)/2 и |CO| = (a+b)/[$8730$]2.

Если приводите иной вариант решения, можете оформлять ответом - это повтором не считается.