Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 182992
28.04.2011, 23:37
43.95 руб.
0 3 2
Образование
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:Пусть а>0,b>0,c>0 и a+b+c=1.Докажите,что (a-bc)/(a+bc)+(b-ca)/(b+ca)+(c-ab)/(c+ab)<=3/2.Заранее благодарен.

Обсуждение

давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
29.04.2011, 10:30
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Преобразуем выражение следующим образом:




Теперь воспользуемся неравенством о средних, согласно которому для любого набора положительных вещественных чисел x[sub]1[/sub],...x[sub]n[/sub] и для любых вещественных p, q, p<q справедливо соотношение



(причём равенство достигается только при x[sub]1[/sub] = x[sub]2[/sub] = ... = x[sub]n[/sub]), то есть среднее степенное монтонно возрастает с ростом степени. В частности, для p = -1 (среднее гармоническое) и q = 1 (среднее арифметическое) имеем



или



В нашем случае



поэтому



причём равенство достигается только при a = b = c = 1/3.
5
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18346
02.05.2011, 09:53
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Можно решить задачу, используя более общеизвестные формулы.

Известно, что для любых положительных чисел a, b, c выполняются неравенства



или



откуда следует, что


Тогда для рассматриваемого в задаче выражения получим

то есть


С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18346
02.05.2011, 10:14
общий
02.05.2011, 11:31
Адресаты:
Здравствуйте!

У меня было намерение исследовать на экстремумы заданное выражение, рассматривая его как функцию трёх переменных. Но учитывая большую трудоёмкость такой задачи, воздержался от этого. Интересно было бы узнать, можно ли простым путём найти минимальное значение выражения. Каково ваше мнение? Есть ли возможность свести задачу к исследованию функции меньшего числа переменных? Можно ли использовать однородность и симметричность выражения относительно его переменных?

Или придётся ограничиться тем, что значение выражения не меньше числа 1?

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа