Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!
Задание 1.
Вариант 7.





Направляющие косинусы:




Вариант 25.





Направляющие косинусы:


Вариант 26.





Направляющие косинусы:




Задание 4.
Вариант 7.
Из уравнения поверхности находим:

Проекция поверхности на плоскость Оху есть треугольник, ограниченый прямой х/2+y=1 и координатными осями.

Вариант 25.
Из уравнения поверхности находим:

Проекция поверхности на плоскость Оху есть треугольник, ограниченый прямой y=2x+2 и координатными осями.

Вариант 26.
Из уравнения поверхности находим:

Проекция поверхности на плоскость Оху есть треугольник, ограниченый прямой y=2-2x и координатными осями.

Задание 5.
Вариант 7.
Из уравнения поверхности находим:

Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!

1. Градиент находим как вектор частных производных:

Производная по направлению вектора e равна

где

орт направления.

[table]
[row][col][/col][col][/col][col][/col][/row][row][col]







[/col][col]







[/col][col]







[/col][/row][/table]

2. Направление наибольшего возрастания функции задается вектором градиента, а его величина - модулем этого вектора.

[table]
[row][col][/col][col][/col][col][/col][/row][row][col]





[/col][col]





[/col][col]





[/col][/row][/table]

4. Уравнение плоскости (p) позволяет задать поверхность S уравнением вида z = z(x,y). В этом случае поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному по следующей формуле:

где D - проекция поверхности S на плоскость Oxy.

[table]
[row][col]Вариант[/col][col][/col][/row]
[row][col][/col][col]
z(x,y) = 1-y-x/2, z'[sub]x[/sub] = -1/2, z'[sub]y[/sub] = -1, D: {x=0; y=0; x+2y=2}, f(x,y) = 2x+15y+(1-y-x/2) = 1.5x+14y+1,



[/col][/row]
[row][col][/col][col]
z(x,y) = x-y/2+1, z'[sub]x[/sub] = 1, z'[sub]y[/sub] = -1/2, D: {x=0; y=0; y-2x=2}, f(x,y) = 3y-2x-2(x-y/2+1) = 4y-4x-2,



[/col][/row]
[row][col][/col][col]
z(x,y) = 1-x-y/2, z'[sub]x[/sub] = -1, z'[sub]y[/sub] = -1/2, D: {x=0; y=0; 2x+y=2}, f(x,y) = 3x-2y+6(1-x-y/2) = -3x-5y+6,



[/col][/row][/table]

5. Поток векторного поля a через поверхность S определяется следующим выражением:

где n - единичный вектор нормали к поверхности. Аналогично предыдущей задаче, этот интеграл сводится к двойному по проекции D поверхности S на плоскость Oxy.

[table]
[row][col]Вариант[/col][col][/col][/row]
[row][col][/col][col]

f(x,y,z) = (2x, 5y, 5z)·(2/7, 6/7, 3/7) = (4x+30y+15z)/7, z = 2-2y-2x/3, z'[sub]x[/sub] = -2/3, z'[sub]y[/sub] = -2,
D: {x=0; y=0; x+3y=3}, f(x,y) = (4x+30y+15(2-2y-2x/3))/7 = (30-6x)/7,



[/col][/row]
[row][col][/col][col]

f(x,y,z) = (x, y, z)·(4/[$8730$]21, 1/[$8730$]21, 2/[$8730$]21) = (4x+y+2z)/[$8730$]21, z = 1-2x-y/2, z'[sub]x[/sub] = -2, z'[sub]y[/sub] = -1/2,
D: {x=0; y=0; 4x+y=2}, f(x,y) = (4x+y+2(1-2x-y/2))/[$8730$]21 = 2/[$8730$]21,


[/col][/row]
[row][col][/col][col]

f(x,y,z) = (x, y, z)·(6/7, 3/7, 2/7) = (6x+3y+2z)/7, z = 3-3x-3y/2, z'[sub]x[/sub] = -3, z'[sub]y[/sub] = -3/2,
D: {x=0; y=0; 2x+y=2}, f(x,y) = (6x+3y+2(3-3x-3y/2))/7 = 6/7,


[/col][/row][/table]

8. Циркуляция векторного поля a по контуру [$955$] равна линейному интегралу

В данном случае контур [$955$] состоит из трех отрезков, соединяющих точки A(D/A, 0, 0), B(0, D/B, 0) и C(0, 0, D/C). Следовательно, циркуляцию можно записать в виде:

Так как dx = 0 на отрезке BC, dy = 0 на CA и dz = 0 на AB, то остальные три интеграла равны 0.

По формуле Стокса циркуляция векторного поля a по контуру, ограничивающему область [$963$], равна

где

а D[sub]xy[/sub], D[sub]yz[/sub], D[sub]zx[/sub] - проекции области [$963$] на координатные плоскости (треугольники, ограниченные осями координат и отрезками AB, BC, CA соответственно).

[table]
[row][col]Вариант[/col][col][/col][/row]
[row][col][/col][col]
a[sub]x[/sub] = x+y, a[sub]y[/sub] = y+z, a[sub]z[/sub] = 2x+2z, A(2,0,0), B(0,-3,0), C(0,0,3), AB: {3x-2y=6; z=0}, BC: {-2y+2z=6; x=0}, CA: {3x+2z=6; y=0}






[/col][/row]
[row][col][/col][col]
a[sub]x[/sub] = 3x, a[sub]y[/sub] = y+z, a[sub]z[/sub] = x-z, A(3,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3), AB: {x+3y=3; z=0}, BC: {3y+z=3; x=0}, CA: {x+z=3; y=0}






[/col][/row]
[row][col][/col][col]
a[sub]x[/sub] = x+y-z, a[sub]y[/sub] = -2y, a[sub]z[/sub] = x+2z, A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2), AB: {x+2y=2; z=0}, BC: {2y+z=2; x=0}, CA: {x+z=2; y=0}.






[/col][/row][/table]

10. Векторное поле a называется соленоидальным, если его поток через любую замкнутую поверхность S равен 0:

Это условие равносильно тому, что


Векторное поле a называется потенциальным, если

где u - потенциал поля. Необходимым условием потенциальности векторного поля является равенство нулю его ротора:

Оно, однако, не является достаточным (например, для многосвязной области).

Векторное поле a называется гармоническим, если оно является одновременно соленоидальным и потенциальным.

[table]
[row][col]Вариант[/col][col][/col][/row]
[row][col][/col][col]



Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row]
[row][col][/col][col]



Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row]
[row][col][/col][col]



Кроме того, область определения поля не является односвязной (поле не определено на Oxy, Oxz и Oyz).
Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row][/table]

Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!
Задача 6.7

Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!
Предлагаю Вам решение задачи 6 из варианта 25. Это решение находится здесь.
Задачу 6 из варианта 26 можно решить по предложенному образцу. Извините, у меня дефицит времени.
С уважением