Здравствуйте, Botsman!

Функция, дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, достигает экстремумов или в стационарной точке, или на границе области
Найдем нули частных производных
dz/dx=y^2+2xy-6x=0
dz/dy=2xy+x^2-6y=0

Вычитаем 1 уравнение из 2
y^2-x^2+6(y-x)=0
(y-x)(y+x+6)=0
Решением будут или точки, где x=y, или y=-x-6
В первом случае оба уравнения дают 3x^2-6x=0
Решения x=y=0, x=y=2
В заданную область входит только x=y=2
Во втором случае любые найденные точки в область не попадают, так как x+y=-6
Значение z в точке (2,2) равно -8
Вычислим вторые производные в этой точке
d²z/dx²=2y-6=-2
d²z/dy²=2x-6=-2
d²z/dxdy=2y-2x=0
D=AC-B^2=4>0
Следовательно, в этой точке имеется максимум
На границе x=0 z превращается в -3y^2, которая принимает минимум в точке y=16 z=-768
На границе y=0 z превращается в -3x^2, которая принимает минимум в точке x=16 z=-768
На границе x+y=1 применим метод множителей Лагранжа
L(P)=z+[$955$](x+y-1)
dL(P)/dx=y^2+2xy-6x+[$955$]=0
dL(P)/dy=2xy+x^2-6y+[$955$]=0
dL(P)/d[$955$]=x+y-1=0
Вычитаем 1 уравнение из 2
y^2-x^2+6(y-x)=0
(y-x)(y+x+6)=0
Решением будут или точки, где x=y, или y=-x-6
При x=y решением будет x=y=0.5
[$955$]=2.25
z=0.25-6*(0.25)=-1.25
Так как на границах отрезка значения функции равны -3, это локальный максимум
На границе x+y=16 применим метод множителей Лагранжа
L(P)=z+[$955$](x+y-16)
dL(P)/dx=y^2+2xy-6x+[$955$]=0
dL(P)/dy=2xy+x^2-6y+[$955$]=0
dL(P)/d[$955$]=x+y-16=0
Все как раньше
При x=y решением будет x=y=8
z=2x^3-6x^2=1024-384=640
Так как на границах отрезка значения функции равны -768, это локальный максимум
Итак, глобальный минимум достигается в 2 точках (0,16) (16,0)
Глобальный максимум в точке (8,8), равный 640