Здравствуйте, Посетитель - 351704!
В полюсе кратности n:

1) -1 - полюс кратности 3, 2 - простой полюс



(сума вычетов должна равняться нулю)

2)(√2/2)*(±1±i) и бесконечность - особые точки
Пусть g(z)=z^4+1. Поскольку g'(z)=4z^3 ни в какой из конечных особых точок не равен нулю, то они есть простыми полюсами.






(сума вычетов должна равняться нулю)

3) особые точки - 0 и бесконечность

Вычет в точке z=0 равен 0 (коэффициент возле -1 степени)
Следовательно, и вычет в бесконечности равен 0.

Здравствуйте, Посетитель - 351704!
4) f(z)=[$966$](z)/[$968$](z), где [$966$](z)=sin3z-3sin z, [$968$](z)=(sin z-z)sin z
По формуле Тэйлора
[$966$](z)=sin3z-3sin z=3z-(3z)³/3!+o(z³)-3(z-z³/3!+o(z³))=(3z-(9/2)z³+o(z³))-(3z-z³/2+o(z³))=-4z³+o(z³)~-4z³
[$968$](z)~(-z³/6)*z=-z⁴/6

Следовательно, f(z)~24/z и поэтому ее вычет в нуле равен 24.

Здравствуйте, Посетитель - 351704!

5. res_z=0 z^n-1/sinⁿ(z), n=1,2...

f(z)=z^n-1/sinⁿ(z)
lim_z->0f(z)=lim_z->0[z^n-1/sin^n-1(z)]/sin(z)=lim_z->0(z/sin(z))^n-1/lim_z->0sin(z)=[$8734$]
lim_z->0f(z)*z=lim_z->0(z/sin(z))ⁿ=1

Следовательно z=0 - простой полюс

res[sub]z=0[/sub] z[sup]n-1[/sup]/sin[sup]n[/sup](z)=lim[sub]z->0[/sub]f(z)*z=1