Здравствуйте, xenitron!
Это простейший тип уравненийвысших порядков .
Решаем через замену .
у"=Р(х) => y"'=dP/dx .
x*(dP/dx)+P=x+1
(dP/dx)+(P/x)=(x+1)/x
Далее решаем как уравнение Бернулли .
P=u*v=>dP/x=v*u'+u*v'
v*u'+u*v'+(uv/x)=(x+1)/x
v*u'+u*(v'+(v/x))=(x+1)/x
v'+(v/x)=0 => dv/dx=-v/x => [$8747$]dv/v=-[$8747$]dx/x => ln|v|=-ln|x| => v=1/x .
v*(du/dx)=(x+1)/x=(1/x)*(du/dx) => du/dx=x+1 => [$8747$]du=[$8747$](x+1)dx
u=((x^2)/2)+x+C1
P(x)=u*v=(x/2)+1+(C1/x)=y"
y'=[$8747$]((x/2)+1+(C1/x))dx=((x^2)/4)+x+C1*lnx+C2=y'
y(x)=[$8747$](((x^2)/4)+x+C1*lnx+C2)dx=((x^3)/12)+((x^2)/2)+C2*x+C1*[$8747$]lnxdx
Для простоты решим маленький интегральчик отдельно .
[$8747$]udv=u*v-[$8747$]v*du
u=lnx , dv=dx , du=dx/x , v=x
C1*[$8747$]lnxdx=C1*x*lnx-C1*[$8747$](x*(dx/x))=C1*x*lnx-C1*[$8747$]dx=C1*x*(lnx-1)+C3

Y(x)=((x^3)/12)+((x^2)/2)+C2*x+C1*x*(lnx-1)+C3 .