Здравствуйте, Ankden!

Чтобы найти резольвенту оператора A(x(t))(t) = [$8747$]x(t)dt, нужно решить уравнение
[$8747$]x(t)dt - [$955$]x(t) = y(t) (1)
относительно x(t). (Здесь и далее все интегралы берутся по отрезку [0,1]).
Обозначим [$8747$]x(t)dt = a, тогда (1) перепишется в виде: a - [$955$]x(t) = y(t), откуда
x(t) = (a - y(t))/[$955$]. (2)
Интегрируя последнее уравнение по отрезку [0,1], получим a = a/[$955$] - (1/[$955$]) [$8747$]y(t)dt и найдем a:
a = (1/(1-[$955$]))[$8747$]y(t)dt.
Из (2) находим резольвенту:
R([$955$]) (y(t)) = (1/([$955$](1-[$955$]))[$8747$]y(t)dt - (1/[$955$])y(t).
Оператор R([$955$])(y) определен и непрерывен для всех y[$8712$] C[0,1], при условии, что [$955$] [$8800$]0 и [$955$][$8800$] 1.
Значения [$955$]=0 и [$955$]=1 образуют спектр оператора A.

Здравствуйте, Ankden!
Текст вопроса плох, но мне показалось, что интеграл все же берется по промежуту [0,t]. В этом случае резольвентное уравнение имеет вид
[$8747$]₀^tx([$964$])d[$964$]-[$955$]x(t)=y(t)
Решая это уравнение с помощью преобразования Лапласа, находим (при [$955$][$8800$]0)
x(t)=-y(t)/[$955$]+(1/[$955$]²)[$8747$]₀^ty([$964$])exp((t-[$964$])/[$955$])d[$964$]
Поэтому данный оператор имеет единственную точку спектра [$955$]=0.