Здравствуйте, Ankden!

Последовательность функций d(tⁿ), где d(t) - функция Дирихле (которая принимает значение 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных) не имеет поточечного предела. Действительно, возьмем, например, точки вида t = [$8730$]p, где p - простое. Для четных n ([$8730$]p)ⁿ - целое, для нечетных - иррациональное, поэтому последовательность функций d(tⁿ) в этих точках принимает как значение и 0, так и 1, при как угодно больших n.

Из отсутствия поточечной сходимости следует отсутствие равномерной сходимости.

Для точек t [$8712$] R, ни при каких a, n не удовлетворяющих уравнению tⁿ = a, где a - рациональное и n [$8805$] 1 - целое, имеем d (tⁿ) = 0. Так как множество всех действительных корней уравнений вида tⁿ = a входит в множество алгебраических чисел, которое счетно, множество таких корней тоже счетно и, следовательно, имеет нулевую меру. Поэтому d(tⁿ) = 0 почти везде (n[$8805$]1).

Таким образом, последовательность d(tⁿ) сходится по мере Лебега и сходится почти всюду к функции, тождественно равной нулю.