Здравствуйте, Belmondo кулешов.

Рассмотрим второе задание. Пусть дан ряд _{n = 1}Σ^{n = ∞} (2n⁴ + 1)(x – 5)ⁿ/(3n⁵ + 2). Найдем его область сходимости.

Здесь a_n = (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2), a_{n + 1} = (2(n + 1)⁴ + 1)/(3(n + 1)⁵ + 2), значит, радиус R сходимости ряда определяется выражением
R = lim_{n → ∞} |a_n/a_{n + 1}| = (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2) : (2(n + 1)⁴ + 1)/(3(n + 1)⁵ + 2) =
= (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2) • (3(n + 1)⁵ + 2)/(2(n + 1)⁴ + 1) = (2n⁴ + 1)/(2(n + 1)⁴ + 1) • (3(n + 1)⁵ + 2)/(3n⁵ + 2). Но
(2n⁴ + 1)/(2(n + 1)⁴ + 1) = (2n⁴ + 1)/(2(n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1) + 1) = (2n⁴ + 1)/(2n⁴ + 8n³ + 12n² + 8n + 3) =
= (2 + 1/n⁴)/(2 + 8/n + 12/n² + 8/n³ + 3/n⁴), и при n → ∞ последнее выражение стремится к 1. Аналогичным образом стремится к единице при
n → ∞ и выражение (3(n + 1)⁵ + 2)/(3n⁵ + 2). Поэтому R = 1, и ряд абсолютно сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству |x – 5| < 1, или 4 < x < 6.

Исследуем сходимость ряда в точке x = 6. Получаем числовой ряд _{n = 1}Σ^{n = ∞} (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2). Так как
lim_{n → ∞} u_n = lim_{n → ∞} (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2) = lim_{n → ∞} (2/n + 1/n⁵)/(3 + 2/n⁵) = 0, то необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним этот ряд с гармоническим рядом, у которого v_n = 1/n:
lim_{n → ∞} u_n/v_n = lim_{n → ∞} (2n⁴ + 1)/(3n⁵ + 2) : 1/n = lim_{n → ∞} (2n⁵ + n)/(3n⁵ + 2) = lim_{n → ∞} (2 + 1/n⁴)/(3 + 2/n⁵) = 2/3.
Так как полученный предел конечен, то ряд расходится вместе с гармоническим рядом. Значит, точка x = 6 не принадлежит области сходимости заданного ряда.

Исследуем сходимость ряда в точке x = 4. Получаем знакочередующийся числовой ряд
_{n = 1}Σ^{n = ∞} (2n⁴ + 1)(-1)ⁿ/(3n⁵ + 2). Абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Поэтому ряд сходится, причем условно, потому что ряд составленный из модулей его членов расходится. Значит, точка x = 4 принадлежит области сходимости заданного ряда.

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал [4; 6[.

С уважением.