1. Определение. Точечное множество называется выпуклым, если оно вместе с каждыми двумя точками содержит и весь соединяющий их отрезок [с.17]
2. Определение. Точечное множество называется звездным относительно принадлежащей ему точки P, если пересечение множества A с любым исходящим из P лучом есть отрезок. [с.39]
3. Следствие. Множество A в том и только в том случае звездно относительно точки P, если отрезок, соединяющий любую принадлежащую множеству A точку Q с точкой P, целиком принадлежит множеству A. (там же)
4. ТЕОРЕМА. Множество тех точек P, относительно которых заданное замкнутое ограниченное точечное множество звездно, либо пусто, либо представляет собой некоторую выпуклую фигуру. (там же)
5. Доказательство. Если P и Q – две такие точки множества A, что A звездно и относительно P и относительно Q, а R – произвольная третья точка множества A, то весь треугольник PQR, очевидно, принадлежит множеству A: <в самом деле, отрезок PR целиком принадлежит A в силу звездности A относительно P и все отрезки QS, где S[$8712$]PR, целиком принадлежат A в силу звездности A относительно Q >.
Пусть теперь T-произвольная точка отрезка PQ. Так как весь треугольник PQR принадлежит множеству A, то и отрезок TR принадлежит множеству A. А так как R – произвольная точка множества A, то отсюда следует выпуклость множества B всех тех точек, относительно которых множество A звездно.
Ограниченность множества B, представляющего собой часть множества A, очевидна.
Докажем теперь замкнутость множества B. В самом деле, пусть P – произвольная точка последовательности точек P’[$8712$]B; рассмотрим еще произвольную точку R[$8712$]A.
Из замкнутости множества A следует, что оно вместе со всеми отрезками P’R содержит и предельный отрезок PR.
Следовательно P[$8712$]B, т.е. множество B полностью удовлетворяет определению выпуклой фигуры.[с.50]