Здравствуйте, Flavi49.

Известно, что плотность кальция ρ = 1,53 • 10³ кг/м³, молярная масса M = 40 • 10^-3 кг/моль.

Граничной энергией электрона в металле при T = 0 К является энергия Ферми:
E_F(0) = h*²/(2m) • (3π²n)^2/3, (1)
а максимальная скорость нерелятивистских электронов может быть найдена из выражения для кинетической энергии
T_max = mv_max²/2 = E_F(0). (2)
Выражения (1) и (2) дают
v_max = √[2E_F(0)/m] = [2h*²/(2m²) • (3π²n)^2/3]^1/2 = h*/m • (3π²n)^1/3, (3)
где h* – «перечеркнутая» постоянная Планка (h* = h/(2π)), m – масса электрона, n – концентрация свободных электронов.

Чтобы найти концентрацию электронов, воспользуемся тем, что n = 2n_a, где n_a – концентрация атомов. При этом
n_a = ρN_A/M,
n = 2ρN_A/M, (4)
где N_A – число Авогадро.
Из выражений (3), (4) получаем
v_max = h*/m • (6π²ρN_A/M)^1/3. (5)

Для определения среднеквадратичной скорости электронов проведем следующие выкладки. Число свободных электронов в металле, энергии которых заключены в интервале от E до E + dE, определяется как произведение функции распределения электронов по состояниям (функции Ферми – Дирака) на число состояний, возможных в этом интервале. При температуре 0 К в каждом состоянии, соответствующем интервалу энергий от 0 до E_F, находится по одному электрону, а состояния с энергиями, большими, чем E_F, вакантны. Поэтому функция распределения свободных электронов по энергиям имеет следующий вид:
dN_e(E) = V • √(2m³)/(π²h*³) • √E • dE, если E ≤ E_F,
dN_e(E) = 0, если E > E_F,
где V – объем образца.

Заменяя E на mv²/2, получим функцию распределения электронов по скоростям при T = 0 К:
dN_e(v) = V • m³v²/(π²h*³) • dv, если v ≤ √(2E_F/m), (6)
dN_e(v) = 0, если v > √(2E_F/m).

Из формулы (6) следует, что функция плотности состояний определяется выражением
g(v) = dN_e(v)/dv = Vm³v²/(π²h³). (7)

Среднеквадратичную скорость (квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей) электронов можно определить следующим образом:
<v_кв> = {[₀∫^Vmax v²g(v)dv]/[₀∫^Vmax g(v)dv]}^1/2,
что после подстановки выражения (7) дает
<v_кв> = {[Vm³/(π²h*³) • ₀∫^Vmax v⁴dv]/[Vm³/(π²h*³) • ₀∫^Vmax v²dv]}^1/2 = {[v_max⁵/5]/[v_max³/3]}^1/2 = v_max√(3/5),
т. е.
<v_кв> = v_max√(3/5). (8)

Подставляя в формулы (5) и (8) численные значения величин, находим
v_max = 1,055 • 10^-34/(0,911 • 10^-30) • [6π² • 1,53 • 10³ • 6,022 • 10²³/(40 • 10^-3)]^1/3 ≈ 1,28 • 10⁶ (м/с),
<v_кв> = 1,28 • 10⁶ •√(3/5) ≈ 0,99 • 10⁶ (м/с)

С уважением.