Здравствуйте, Арефин Сергей Викторович.

Решаем однородное уравнение y” + y = 0. Его характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет решения k₁ = -i, k₂ = i. Поэтому общим решением однородного уравнения будет y_оо = C₁ • cos x + C₂ • sin x.

Представим исходное уравнение в виде совокупности двух уравнений:
y” + y = 4 • x • e^x, (1)
y” + y = -2 • sin x. (2)

Правая часть уравнения (1) имеет вид f(x) = e^αx • P₁(x). Число α = 1 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение y*₁ ищем в виде y*₁ = (A • x + B) • ex. Имеем для уравнения (1)
(y*₁)’ = ((A • x + B) • e^x)’ = A • e^x + (A • x + B) • e^x = A • (e^x + x • e^x) + B • e^x,
(y*₁)” = (A • (e^x + x • e^x) + B • e^x)’ = A • (2 • e^x + x • e^x) + B • e^x,
A • (2 • e^x + x • e^x) + B • e^x + (A • x + B) • e^x = 4 • x • e^x,
2 • A • x • e^x + (2 • A + 2 • B) • e^x = 4 • x • e^x,
2 • A = 4, 2 • A + 2 • B = 0,
A = 2, B = -2,
y*₁ = (2 • x – 2) • e_x = 2 • (x – 1) • e^x.

Правая часть уравнения (2) имеет вид f(x) = a • cos βx + b • sin βx. Числа ±i являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение y*₂ ищем в виде y*₂ = x • (C • cos x + D • sin x). Имеем для уравнения (2)
(y*₂)’ = (x • (C • cos x + D • sin x))’ = C • cos x + D • sin x + x • (-C • sin x + D • cos x),
(y*₂)” = (C • cos x + D • sin x + x • (-C • sin x + D • cos x))’ = -2 • C • sin x + 2 • D • cos x + x • (-C • cos x – D • sin x),
-2 • C • sin x + 2 • D • cos x + x • (-C • cos x – D • sin x) + x • (C • cos x + D • sin x) = -2 • sin x,
-2 • C • sin x + 2 • D • cos x = -2 • sin x,
C = 1, D = 0,
y*₂ = x • cos x.

Следовательно, общим решением заданного неоднородного уравнения является
y = y_оо + y*₁ + y*₂ = C₁ • cos x + C₂ • sin x + 2 • (x – 1) • e^x + x • cos x.

С уважением.