Здравствуйте, Гулин Вячеслав Николаевич.
Заменить теоретически можно, но смысл? У Вас стоит батарея 12В и 7А*ч, даже если вы замените на 12А*ч электроника ИБП не даст зарядить батарею полностью, а только до 7А*ч. (батарея зарядится полностью, но времени на зарядку потребуется больше). Соответственно при постоянной недозарядке Ваша батарея быстрее выйдет из строя. Плюс ко всему прочему габариты батареи 12А*ч по габаритам больше чем 7А*ч.

Здравствуйте, Гулин Вячеслав Николаевич.
В принципе, с большей ёмкостью - возможно. Только не имеет большого смысла увеличивать ёмкость нового аккумулятора более, чем на 30, максимум 50% от номинала. При этом соответственно приросту ёмкости увеличится время заряда аккумулятора и немного тепловой режим сетевого преобразователя-источника зарядного тока - он будет работать дольше, но это, как правило, некритично. Если применить аккумулятор ещё большей ёмкости, то зарядный ток будет слишком мал и ресурс аккумулятора может уменьшиться. Время заряда ещё более увеличится.
Аккумулятор с бОльшим током разряда применять не имеет смысла, потому что разрядный ток ограничен электроникой бесперебойника - в частности, устройством защиты от перегрузки и короткого замыкания.
А самое главное - источник бесперебойного питания данного класса не предназначен для более-менее продолжительной работы компьютера, а в большинстве случаев 600 ВА хватает для корректного сохранения данных и завершения работы.

Здравствуйте, Вячеслав Николаевич.
Я поддерживаю ответ Al_Vi_S и поправку Black Cloud. Добавлю свои ответы на Ваши доп-вопросы. В случае затруднения приобрести новый аккумулятор с такими же параметрами, как в повреждённом, можно заменить модель на другую, с нехудшими показателями. Главное, чтоб её напряжение было таким же, и по габаритам она уместилась в отсек бесперебойника.
Применение аккумуляторов с б'Ольшим габаритом будет неудобно в эксплуатации, и оправдано лишь в условиях, когда в Вашей энергосистеме часто пропадает электроэнергия, и при этом необходимы какие-то кратковременные работы на компьютере (скопировать срочно на флэшку, отпечатать на принтере…, у меня такое было.)
"а если я буду сам заряжать аккумулятор на другом зарядном устройстве" - да, если Вы примените слишком ёмкий аккумулятор, то его ток само-разряда может оказаться больше, чем зарядной ток бесперебойника, и тогда придётся заряжать супер-батарею мощным ЗУ (Зарядным Устройством). Очень желательно во время заряда отключить эти мощные ЗУ и аккумулятор от бесперебойника и компьютера.
"какой мощности должен быть источник бесперебойного питания для …10-15 минут работы моей системы?" - если Ваш БП (Блок Питания) "переваривает" 350 ватт, то и мощность бесперебойника должна быть 350 Вт или не меньше этого.
"на какое время работы моей системы я могу расчитывать?" - время работы потребителей от батареи можно ориентировочно рассчитать по формуле:
t=60·0.7·U·C/P , где U - напряжение батареи в Вольтах, коэффициент 60 переводит результат в минуты (так как C - ёмкость батареи обычно дана в Ампер-Часах), P - мощность потребителя в Ваттах. 0.7 - коэффициент использования ёмкости батареи, при котором батарея ещё не полностью разрядилась, но её напряжение уже недостаточно для продолжения работы потребителя.
Таким образом, Ваш штатный новый аккумулятор в 12V и 7А-часов способен нагружать БП 350W в течение 42*12*7/350=10 минут, а новые 2 батареи по 12V и 12А*ч на мощном бесперебойнике при той же мощности потребителя разрядятся за 2*42*12*12/350=35 минут.
Успехов!