Консультация № 178177
03.05.2010, 08:12
43.65 руб.
0 2 2
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задание (подробно): Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = 3cos^3 t (икс равно три косинус в кубе тэ), y = 3sin^3 t (игрек равно три синус в кубе тэ). Построить схематический чертёж.

Обсуждение

Неизвестный
03.05.2010, 11:36
общий
это ответ
Здравствуйте, Aleksandrkib.

График и общая информация здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Астроида

В Вашем случае астроида задана параметрическими уравнениями: x = 3cos^3 t, y = 3sin^3 t
радиус R=3.
Площадь, ограниченная кривой:
S=(3/8)*pi*R^2=(27/8)*pi
Учитывая pi=3.14 площадь равна: S=(27/8)*3.14=10.5975
Неизвестный
03.05.2010, 15:08
общий
это ответ
Здравствуйте, Aleksandrkib.

Для вычисления площади, ограниченной параметрически заданной кривой, воспользуемся формулой

S=(1/2)*[$8747$]ab(x*y'-x'*y)dt

x=3*cos3(t)
y=3*sin3(t)
t меняется от 0 до 2*Pi



x'=-9*cos2(t)*sin(t)
y'=9*sin2(t)*cos(t)
x*y'-x'*y=3*cos3(t)*9*sin2(t)*cos(t)-(-9*cos2(t)*sin(t))*3*sin3(t)=27*sin2(t)*cos2(t)*(cos2(t)+sin2(t))=27*sin2(t)*cos2(t)=(27/4)*sin2(2*t)

S=(1/2)*[$8747$]02*Pi((27/4)*sin2(2*t))dt=(27/8)[$8747$]02*Pisin2(2*t)dt=(27/16)[$8747$]02*Pisin2(2*t)d(2*t)=(27/16)*(1/2)*(2*t-sin(2*t)*cos(2*t))02*Pi=(27/8)*Pi
Форма ответа