Здравствуйте, STASSY.
Т.к. сфера вписана в параллелепипед, должно выполняться свойство равновеликости граней.
В параллелепипед можно вписать сферу т. и т. т., когда все его грани равновелики.опустим из вершины A
1 высоты боковых граней
Треугольники A
1KA и A
1LA - равны (AA
1- общая сторона, [$8736$]A
1AD=[$8736$]A
1AB, оба треугольника - прямоугольные)
Следовательно A
1K=A
1L=h
AK=AL
По свойству равновеликости граней получим:
S
ABCD=S
A1ABB1=S
A1ADD1 или
AB*AC=AD*A
1K=AB*A
1L=AD*h=AB*h
AB=AC=h=5*[$8730$]6
Опустим перпендикуляр H=A
1P к ABCD, он будет являться высотой параллелепипеда и равен диаметру вписанной сферы (12)
из равенства треугольников A
1PL и A
1PK (прямоугольные, A
1P- общая, A
1K=A
1L)
PK=PL
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что проекция перепендикуляра (высоты) к прямой, перепедикулярна этой прямой.
PK - проекция A
1K
PL - проекция A
1L
тогда AKPL - прямоугольник и PK=PL и AK=AL, значит AKPL - квадрат
PL=[$8730$](h
2-H
2)=[$8730$]6=PK=AK=AL
AP=[$8730$]12=2*[$8730$]3
AA
1=[$8730$](12*13)=2*[$8730$]39
cos[$945$]=AP/AA
1=1/[$8730$]13=[$8730$]13/13
Центром вписанной сферы является центр симметрии параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.
Причем диагонали параллелепипеда при пересечении делятся пополам.
AO=AC
1/2
Из точки C
1 опустим перпендикуляр C
1N на плоскость основания.
Прямоугольные треугольники AAP и CCN равны, следовательно
AN=AC+CN=AC+AP=10*[$8730$]3+2*[$8730$]3=12*[$8730$]3
C
1N=H=12
d=AC
1=24
AO=d/2=12
Можно ввести декартовы координаты и вычислить центр сферы и длину AO.
Например
A(0, 0, 0),B(5*[$8730$]6, 0, 0),C(5*[$8730$]6, 5*[$8730$]6, 0),D( 0, 5*[$8730$]6, 0)
A
1([$8730$]6, [$8730$]6, 12),B
1(6*[$8730$]6, [$8730$]6, 12)
C
1(6*[$8730$]6, 6*[$8730$]6, 12),D
1([$8730$]6, 6*[$8730$]6, 12)
Возможно есть более простое решение.