Здравствуйте, Владимир Ульянов.

1) Мера Лебега этого множества равна 0. Это доказывается, как и мера рациональных чисел.
Сначала рассмотрим доказательство для меры рациональных чисел на прямой.
Мера множества равна 0, если его можно покрыть системой интервалов суммарной длиной не больше е при любом положительном e.
Рассмотрим конечные множества A_n, n=1, 2, ... , где через A_n обозначено множество рациональных чисел из отрезка [0;1], представимых в виде дроби m/n для некоторого целого m. Конечное множество точек можно покрыть системой интервалов сколь угодно малой длины. Поэтому мы можем покрыть множество A₁ интервалами суммарной длины (1/2)*e, множество A₂ - интервалами суммарной длины (1/4)*e, и т.д. , множество A_k - интервалами суммарной длины (1/2^k)*e.
Таким образом, все рациональные числа оказываются покрытыми системой интервалов, суммарная длина которых не больше, чем (1/2)*e+(1/4)*e+...+(1/2)^k*e+... = e.

Мера множества на всей плоскости вычисляется как ряд из суммы мер пересечений множества с единичными квадратами E_nm={n<x[$8804$]n+1,m<y[$8804$]m+1}. Докажем, что на единичном квадрате мера множества равна 0. Возьмем квадрат E₀₀.
Для каждого рационального числа построим прямоугольник со стороной как интервал в предыдущем случае. Прямоугольник [r-e/2,r+e/2][0,1] имеет площадь e и покрывает все точки, в которых одна координата равна r, а другая - любое иррациональное число в отрезке [0,1]. Сумма площадей этих прямоугольников равна суммарной длине интервалов, ее можно сделать как угодно малой. Значит, мера пересечения множества с E_nm равна 0. Вся плоскость - объединение счетного количества таких квадратов, объединение счетного количества множеств с мерой 0 есть тоже 0.
На 2) и 3) есть готовые ответы викибук
4) Фихтенгольц