Здравствуйте, korot.

Здравствуйте, korot.

Б) Пусть дана функция y = ln (9 – x²). Она определена только при положительных значениях выражения 9 – x², т. е. при -3 < x < 3. Открытый интервал ]-3; 3[ является ее областью определения.

Функция четная, потому что y(-x) = ln (9 – (-x)²) = ln (9 – x²) = y(x). Ее график симметричен относительно оси ординат. Для построения графика достаточно исследовать поведение функции на интервале [0; 3[.

Не существует такого числа C, отличного от нуля, что ln (9 – x²) = ln (9 – (x + C)²). Поэтому функция непериодическая:
ln (9 – x²) = ln (9 – (x + C)²),
9 – x² = 9 – (x + C)²,
x² = x² + 2xC + C²,
2xC + C² = 0,
C(2x + C) = 0,
C₁ = 0, C₂ = -2x – не является константой.

На всей области определения функция непрерывна.

При x = 0 y(0) = ln 9, следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке (0; ln 9) (для построения заметим, что ln 9 ≈ 2,197). При у = 0 получаем 9 – x² = 1, x² = 8, x = √8 = 2√2, следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точке (2√2; 0) (для построения заметим, что 2√2 ≈ 2,828).

Находим интервалы постоянства знаков функции:
y > 0 при 9 – x² > 1, откуда x² < 8, x < 2√2, значит, на интервале [0; 2√2[ функция положительна;
y < 0 при 9 – x² < 1, откуда x² > 8, x > 2√2, значит, на интервале ]2√2; 3[ функция отрицательна.

При x → 3- 9 – x² → 0+, y = ln (9 – x²) → ln 0+ = -∞, т. е. при x → 3- y → -∞. Поэтому прямая x = 3 – вертикальная асимптота графика функции. Из-за ограниченности своей области определения функция не имеет наклонных и горизонтальной асимптот, ведь x заведомо не стремится к бесконечности.

Находим интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную:
y' = (ln (9 – x²))’ = -2x/(9 – x²).
Отсюда и из характера постоянства знаков функции видно, что при -2x = 0, x = 0 функция имеет максимум y(0) = ln 9.

Находим вторую производную функции:
y" = (-2x/(9 – x²))’ = -(2x ∙ 1/(9 – x²))’ = -(2/(9 – x²) + 4x²/(9 – x²)²) = -2(9 + 2x² – x²)/(9 – x²)² =
= -2(x² + 9)/(9 – x²)².
Заметим, что при x = 0 (в точке экстремума) y”(0) = -2 < 0, поэтому (как и было установлено выше) x = 0 – точка максимума.
Приравнивая вторую производную функции нулю, получаем
x² + 9 = 0, 9 – x² ≠ 0.
Эта система не имеет решений, потому что решение уравнения (x = 3) не удовлетворяет неравенству. Значит, график функции не имеет точек перегиба и всюду направлен выпуклостью вверх.

Полученной информации достаточно, чтобы Вы могли самостоятельно построить график функции на положительной части области определения, а затем, используя его симметричность относительно оси ординат, получить полный график.

С уважением.