Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.

Пусть f(x) = c(4 – (x – 5)²), если |x – 5| < 4, f(x) = 0, если |x – 5| > 4.

1. Плотность распределения принимает ненулевые значения при 1 < x < 9. Из условия для плотности случайной величины имеем _-∞∫^+∞ f(x)dx = 1, то есть
₁∫⁹ c(4 – (x – 5)²)dx = 1, c ∙ ₁∫⁹ (4 – (x – 5)²)dx = 1, c ∙ ₁∫⁹ (4 – x² + 10x – 25)dx = 1, c ∙ ₁∫⁹ (-x² + 10x – 21)dx = 1,
с ∙ (-x³/3 + 5x² – 21x)|19 = 1, с ∙ ((-243 + 405 – 189) – (-1/3 + 5 – 21)) = 1, с ∙ (-27 + 49/3) = 1, -32c/3 = 1, откуда находим с = -3/32.

2. Функция распределения задается следующим образом: F(x) = -3/32 ∙ (-x³/3 + 5x² – 21x), если |x – 5| < 4, т. е. при 1 < x < 9; F(x) = 0, если если |x – 5| > 4, т. е. при -∞ < x < 1 и при 9 < x < +∞.

3. Вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие 0,5, равна нулю, потому что
P {ξ < 0,5} = F(0,5) – F(-∞) = 0 – 0 = 0.

4. Находим математическое ожидание случайной величины ξ:
Mξ = _-∞∫^+∞ x ∙ f(x)dx = -3/32 ∙ ₁∫⁹ x(4 – (x – 5)²)dx = -3/32 ∙ ₁∫⁹ (-x³ + 10x² – 21x)dx =
= -3/32 ∙ (-x⁴/4 + 10x³/3 – 21x²/2)|₁⁹ = -3/32 ∙ ((-1640,25 + 2430 – 850,5) – (-0,25 + 10/3 – 10,5)) =
= -3/32 ∙ (-160/3) = 160/32 = 5.

Находим дисперсию случайной величины ξ. Имеем
Mξ² = _-∞∫^+∞ x² ∙ f(x)dx = -3/32 ∙ ₁∫⁹ x²(4 – (x – 5)²)dx = -3/32 ∙ ₁∫⁹ (-x⁴ + 10x³ – 21x²)dx =
= -3/32 ∙ (-0,2x⁵ + 2,5x⁴ – 7x³)|₁⁹ = -3/32 ∙ ((-11809,8 + 16402,5 – 5103) – (-0,2 + 2,5 – 7)) =
= -3/32 ∙ (-505,6) = 47,4;
Dξ = Mξ² – (Mξ)² = 47,4 – 5² = 22,4;

Находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины η = 5ξ + 4:
Mη = 5Mξ + 4 = 5 ∙ 5 + 4 = 29;
Dη = 5²Dξ = 25 ∙ 22,4 = 560.

С уважением.