Здравствуйте, Ankden.
Решаем первую задачу.
Прежде всего отметим, что все точки множества лежат в интервале и различны при различных n:
1) [$945$]n=0 mod(1) <---> [$945$]n = целое ---> [$945$]=целое/n (противоречит иррациональности [$945$])
2) [$945$]n=1 mod(1) <---> [$945$]n = 1 + целое ---> [$945$]=(1+целое)/n (противоречит иррациональности [$945$])
3) если [$945$]n=[$945$]m mod(1) при n[$8800$]m, то [$945$]n=[$945$]m + целое --->[$945$]=(целое)/(n-m) (противоречит иррациональности [$945$])

Пусть [$948$]>0. Разобъем отрезок [0;1] на N равных частей так, чтобы длина каждого отрезка разбиения была меньше [$948$]. Так как все точки рассматриваемого множества различны, то в интервале (0;1) находится бесконечное множество различных точек, следовательно хотя бы на одном отрезке разбиения [k/N;(k+1)/N] найдутся по крайней мере две различных точки нашего множества, т.е.
[$945$]n-m[$8712$][k/N;(k+1)/N]
[$945$]s-p[$8712$][k/N;(k+1)/N]
при некоторых целых n,m,s,p,k. Тогда расстояние между этими точками не более длины отрезка, которая меньше [$948$], т.е.
([$945$]n-m[$8712$][k/N;(k+1)/N])-([$945$]s-p[$8712$][k/N;(k+1)/N]) <[$948$]
или, полагая t=n-s, получаем, что
x=([$945$]t mod(1) <[$948$]
Но тогда кратные x (x,2x,3x,...) являются точками нашего множества, располагающимися вдоль [0,1] с шагом меньшим [$948$]. Отсюда следует, что для любой точки y отрезка [0;1] найдется точка нашего множества, которая удалена от y меньше, чем на [$948$]. Это и означает, что рассмтриваемое множество всюду плотно.