Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.
первую задачу можно решить "от противного". Пусть нет двух чисел, разница между которыми не больше 26, т.е. разница между всеми числами a>=27. Упорядочим числа по возрастанию Первое число x1>=2. Тогда второе x2>=x1+27>=2+27, третье x3>=x2+27>=x1+2*27>=2+2*27 и т.д. Последнее x38>=x1+37*27>=2+37*27=1001, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение, что нет двух чисел, разница между которыми не больше 26, не верно.
Во второй задаче - 2.1. - на какой вопрос ответить нельзя?

Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

Предположим обратное, то есть разница всех чисел больше 27. Отсортируем их по порядку.
a1>=1, a2>1+27...... a38>1+27*37=1000
А по условию все числа меньше 1000. Противоречие.

2. a+b+c+d - Общее количество увлечений у мальчиков. Так как некоторые мальчики имеют больше одного увлечения, это число больше числа мальчиков.
a + b + c + d - x - y - z - u - v - w.- из общей суммы вычитается число парных увлечений. Но есть мальчики, у которых 3 увлечения и больше. Тогда их вычли дважды.

Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

1. Допустим, что для любых двух чисел из выборки (числа предполагаем различными, т.к. если есть равные, то их разность будет 0 < 26) разность между ними больше 26.
Т.к. числа четные, то и разность четная, т.е. минимально возможная разность, большая 26, равна 28.
Проверим, можем ли мы набрать 38 чисел с такой разностью:
Первое число 2 (наименьшее из четных положительных). Следующее - 2+28=30. Далее: 58, 86 и т.д. 36-е равно 982 - и все. Больше чисел не набрать.
А надо еще 2. Т.е. мы не можем набрать 38 чисел с разностью не меньше 28.
Покажем, что мы можем выбрать 38 чисел с разностью 26:
2, 28, 54, 80, 106, 132, 158, 184, 210, 236, 262, 288, 314, 340, 366, 392, 418, 444, 470, 496, 522, 548, 574, 600, 626, 652, 678, 704, 730, 756, 782, 808, 834, 860, 886, 912, 938, 964.

2.
Возьмем 16 мальчиков: 8 любят футбол, 8 - шахматы, 8 - велосипед, 8 - лошадей. 4 - футбол и шахматы, 4 - футбол и велосипед, 4 - футбол и лошадей, 4 - шахматы и велосипед, 4 - шахматы и лошадей, 4 - велосипед и лошадей.
Это все данные по задачи.
Добавлю еще, что по 2 мальчика любят по 3 вида в разных сочетаниях (Ф+Ш+В, Ф+Ш+Л, Ф+В+Л, Ш+В+Л) и один - все 4 вида. Кроме этого один лентяй ничего не любит.

А теперь уберем из класса вот этого лентяя. В результате состояние остальных останется ровно таким же, а общее число мальчиков в классе станет 15.

Соответственно, по исходным данным задачи мы не можем определить количество мальчиков в классе (видимо, это и есть неуказанный вопрос) однозначно.
Более того, в данном случае и утверждение в п.2.2. неверно, т.к. мы можем добавить в этот класс любое число лентяев, в результате чего их станет гарантировано больше, нежели занимающихся спортом.

Поэтому для определения общего числа мальчиков нам нужно знать количество лентяев.

Предположим, что у нас лентяев нет.
При этом все равно однозначно определить число мальчиков нельзя.
Рассмотрим вот такие 2 класса:
К1: ШФ, ШВ, ШЛ, ФВ, ФЛ, ВЛ - всего 6 мальчиков, каждый занимается 2-мя видами. Тогда каждым видом занимается по 3 мальчика, и по 1 мальчику каждой парой видов.
К2: ШФВЛ, 2Ш, 2Ф, 2В, 2Л - всего 9 мальчиков, из которых один универсал (все виды) и по 2 мальчика-специалиста на каждый вид, занимающихся только им. В результате мы также имеем по 3 мальчика на каждый вид и одного мальчика на каждую пару (универсал считается для каждой пары).

Соответственно, мы никогда не сможем по исходным данным выбрать между этими двумя классами.

Что же нужно для определения числа мальчиков.
Рассмотрим сначала только тех, кто занимается шахматами или футболом (Ш и Ф).
Тогда этих мальчиков всего будет Ш+Ф-ШФ (сумма тех, кто занимается этими видами минус те, кто занимается обоими видами, т.к. они были учтены дважды).
Итак, обозначим число шахматисто-футболистов как А (А = Ш+Ф-ШФ).
Добавим к ним велосипедистов (В). Теперь число мальчиков станет равно А+В-АВ = Ш+Ф-ШФ+В-(Ш+Ф-ШФ)В = Ш+Ф-ШФ+В-ШВ-ФВ+ШФВ.
Данная формула обозначает, что мы считаем всех по каждому виду, не учитываем тех, кто занимается парой видов (т.к. они учитываются дважды), но добавляем тех, кто занимается всеми тремя видами (т.к. мы их лишний раз выкинули при учете пар).
Ну и по аналогии, добавляя лошадников (Л) получаем, что общее число мальчиков есть (обохначим Ш+Ф-ШФ+В-ШВ-ФВ+ШФВ как Б) Б+Л-БЛ = Ш+Ф-ШФ+В-ШВ-ФВ+ШФВ+Л-(Ш+Ф-ШФ+В-ШВ-ФВ+ШФВ)Л = Ш+Ф-ШФ+В-ШВ-ФВ+ШФВ+Л-ШЛ-ФЛ+ШФЛ-ВЛ+ШВЛ+ФВЛ-ШФВЛ. Опять же, из общей суммы убираем тех, кто занимается двумя видами, добавляем тех, кто занимается тремя видами и убираем универсалов-четырехвидовиков.

Далее аналогично: суммируются все те, кто занимается нечетным числом видов и вычитаются те, кто занимается четным числом.

Соответственно, в п.2.1 для вычисления числа мальчиков должны быть дополнительно заданы количества тех, кто занимается тремя видами и тех, кто занимается всеми четырьмя.
По п.2.2
Т.к. пересечение не может быть больше минимального из множеств, то:
Ш+Ф+В+Л не меньше общего числа мальчиков, т.к. лентяев нет.
Т.к. сумма тех, кто занимается тремя видами, не меньше тех, кто занимается 4-мя (последнее суть подмножество объединения первых), то их разность не меньше 0. А т.к. эту разность нужно прибавить к заданному выражению, то общее число мальчиков будет не меньше указанного выражения.