Здравствуйте, bestwick.
[$8730$](x+6)>[$8730$](x+1)+[$8730$](2x-5);

Перед тем, как решать, надо определить область допустимых значений!
В данном случае, все подкоренные выражения должны быть [$8805$] 0, т.е.
x[$8805$]0, x[$8805$]-1, x[$8805$]2.5
Пересечение всех трех даст x∈[2.5;∞)

Перенесем [$8730$](x+1) в левую часть неравенства и возведем в квадраты обе части

При этом учитываем, что в области допустимых значений обе части неравенства положительны!

x+6-2[$8730$](x²+7x+6)+x+1>2x-5;
12>2[$8730$](x²+7x+6);
Сократим на 2 и возведем в квадраты обе части
36>x²+7x+6;
x²+7x-30<0;
По теореме Виета получаем:
x₁=-10, x₂=3
(x+10)(x-3)<0;
x[$8712$](-[$8734$];-10).

Из квадратного уравнения имеем x∈(-10;3)
Ветви параболы направлены вверх, значит <0 будет между корнями

Пересечение (-10;3) с [2.5;∞) даст x∈[2.5;3)

Всего доброго!

Здравствуйте, bestwick.

Правильное решение будет выглядить так:
1) Находим область определения (область допустимых значений) неравенства. Так как она была найдена Лысковым Игорем Витальевичем,
то можно воспользоваться его ответом:
x∈[2.5;∞)
2) В области допустимых значений неравенство можно возводить в квадрат так как обе части неравенства неотрицательны:
x+6>x+1+2√(2x²-3x-5)+2x-5
10-2x>2√(2x²-3x-5)
5-x>√(2x²-3x-5)

3) Неравенство A>√B равносильно системе неравенств:
(i) A[$8805$]0
(ii) B[$8805$]0
(iii) A²>B

4) Решение (i): 5-x[$8805$]0 <----> x[$8804$]5
(ii) можно не решать так как оно автоматически выполняется в области допустимых значений
Решение (iii):
25-10x+x²>2x²-3x-5
x²+7x-30<0
-10<x<3

Пересечение полученных областей и области допустимых значение дает промежуток [2.5;3]