Annettik:
Ответ на второй вопрос посмотрите в своем предыдущем вопросе 176382

Annettik:
А первый вопрос Вы написали невнятно: в первой строчке написан степенной ряд, а во втором обычный.
Возможно, на этот вопрос ответа Вы не получите.

Первая строчка это задание, а вторая сам пример!

Annettik:
Так пример не отвечает заданию, посмотрите его повнимательнее.

Виновата!
Найти интеграл сходимости степенного ряда Σ(от n=1 до бесконечн. ) an*x^n

an=n/(n^3+1)*2^n

Annettik:
Радиус сходимости находим по формуле
R=lim|a_n/a_n+1|=lim n((n+1)³+1)2ⁿ⁺¹/[(n³+1)2ⁿ(n+1)]=
2[lim n/(n+1)][lim n³+3n²+3n+2/(n³+1)]=2*1*1=2
Интервал сходимости
I=(-R;R)=(-2;2)
Ответ: (-2;2)

Комментарий: 4/1*4 это 16, а не 1. Я понял, что это все же
an=n/[(n^3+1)*2^n ]
Если это не так, то поправьте.

Annettik:
Тьфу-ты. Опять ответ отправил в минифорум. Смотрите там.

По третьей задаче:

Так как:

cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ... = [$8721$]{n=0...[$8734$]} { ((-1)ⁿ * x²ⁿ) / (2n)! }

при любом действительном х,

то:

f(x) = 1 - cos(x) = (x²/2!) - (x⁴/4!) + (x⁶/6!) - ... = - [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)ⁿ * x²ⁿ) / (2n)! } = [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)ⁿ⁺¹ * x²ⁿ) / (2n)! }

также при любом действительном х

Следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать на любом интервале, входящем в область сходимости ряда, то есть при любом действительном х

Тогда:

[$8747$]^0,5₀ f(x)dx = [$8747$]^0,5₀ [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)ⁿ⁺¹ * x²ⁿ) / (2n)! } * dx =

= [$8721$]{n=1...[$8734$]} [$8747$]^0,5₀ { ((-1)ⁿ⁺¹ * x²ⁿ) / (2n)! } * dx =

= [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)ⁿ⁺¹ * x²ⁿ⁺¹) / [(2n + 1) * (2n)!] } | ^0,5₀ =

= [$8721$]{n=1...[$8734$]} { (-1)ⁿ⁺¹ / [2²ⁿ⁺¹ * (2n + 1) * (2n)!] } = [$8721$]{n=1...[$8734$]} { (-1)ⁿ⁺¹ / [2³ⁿ⁺¹ * (2n + 1) * n!] }

Так как:

|a₁| = | (-1)² / [2⁴ * 3 * 1!] | = 1/48 > 0.001

|a₂| = | (-1)³ / [2⁷ * 5 * 2!] | = 1/1280 < 0.001 = 1/1000

то, в качестве приближенного значения интеграла достаточно взять только первый член полученного ряда, то есть:

[$8747$]^0,5₀ f(x)dx ≈ 1/48

с точностью до 0,001