Здравствуйте, SKIF62.

Большой объем выкладок в решении Вашей задачи не позволяет мне поместить его непосредственно. Поэтому смотрите его по следующей ссылке:
https://rfpro.ru/upload/1214

С уважением.

Приложение:
Ссылка на электронную таблицу с проверкой правильности определения коэффициентов разложения:
https://rfpro.ru/upload/1215

Здравствуйте, SKIF62.

Нужно сделать подстановку y=√(x-1)/(x=1). Тогда x=(y²+1)/(1-y²), dx= 4y/(y²-1)².
и задача сведется к интегралу от рациональной функции -4y²(y²+1)/(y²-1)³.
Подобные интегралы вычисляются методом неопределенных коэффициентов. Это попытка представить функцию как сумму [$8721$]a_k/(x-1)^k и [$8721$]a_k/(x+1)^k
Каждый из них легко вычислить. Можно составить систему линейных уравнений и из них вычислить коэффициенты.
В данном случае попробуем сделать такое разложение проще. Пока минус вынесем за скобки.
(4y⁴+4y²)/(1-y²)3=((y²-1)²+3(y⁴-1)+6y²+2)/(y²-1)³
Делим почленно, поучаем 1/(y²-1)+(y²+1)/(y²-1)²+(6y²+2)/((y²-1)³
Первый член интегрируется просто как -1/2(ln(y-1)-ln(y+1))
Второй равен 3*(y²+1)/(y²-1)²=3/2(1/(y-1)²+1/(y+1)²)

-3/2[$8747$](1/(y-1)²+1/(y+1)²)dy=-3/2*(1/(y-1)+1/(y+1))=3*y/(y²-1)
[$8747$](6y²+2)/((y²-1)³dy=[$8747$](1/(y-1)³-1/(y-1)³)dy=-1/2(1/(y-1)²-1/(y+1)²)=2y/(y²-1)²)

Окончательный ответ 1/2(ln(y+1)-ln(y-1))+(3y³-y)/(y²-1)²)+C
Теперь перейдем к x, но это Вы сделаете сами.