• Ответ № 255652 от Kom906, 10-й класс
Здравствуйте, Litta.

При любом действительном х:

- 1 ≤ sin[x - (pi/3)] ≤ 1

⇒ - 2 ≤ 2*sin[x - (pi/3)] ≤ 2 ⇒ - 3 ≤ 2*sin[x - (pi/3)] - 1 ≤ 1

Функция y = arctg(x) определена и возрастает на всей действительной оси, возрастает она, так как:

y' = [arctg(x)]' = 1/(1 + x2) > 0 при любом действительном х

Поэтому исходная функция принимает значения:

arctg(- 3) ≤ y ≤ arctg(1)

arctg(- 3) = - arctg(3) ≈ - 1.249

arctg(1) = pi/4 ≈ 0.785

⇒ - arctg(3) ≤ y ≤ (pi/4)

График можете посмотреть тут
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3Datan%282%2Asin%28x-%28pi%2F3%29%29-1%29
Ответил: Kom906, 10-й класс
Дата отправки: 21.10.2009, 04:32

Оценка ответа: 4
Комментарий к оценке: Спасибо, конечно, но в условии стоял арккотангенс.
В случае же с тангенсом решение верное. Очень подробное объяснение.
Решение с контангенсом уже не нужно, т.к. все стало понятно из Вашего примера
Дата оценки: 21.10.2009, 21:30

Несмотря на положительную оценку ответа - решение не соответствует вопросу. Тем более автор просил удалить ответ как неверный. Ответ все - же принес пользу - поэтому в минифорум.

Цикалов Игорь Константинович:
Я неправильно понял"Область значений".В математике есть область определения и множество значений.Так я искал область определения.

Приношу свои извинения за то, что мой ответ не соответствал вопросу

Привожу корректное решение.

1. Область определения функции

Функция непрерывна при любом действительном х, кроме точкек:

2*sin[x - (pi/3)] - 1 = 0

sin[x - (pi/3)] = 1/2

x - (pi/3) = (- 1)ⁿ*(pi/6) + pi*n, n [$8712$] Z

x = (pi/3) + (- 1)ⁿ*(pi/6) + pi*n, n [$8712$] Z

2. При любом действительном х:

- 1 ≤ sin[x - (pi/3)] ≤ 1

⇒ - 2 ≤ 2*sin[x - (pi/3)] ≤ 2 ⇒ - 3 ≤ 2*sin[x - (pi/3)] - 1 ≤ 1

Так как исходная функция не определена при 2*sin[x - (pi/3)] - 1 = 0, то в данном случае:

- 3 ≤ 2*sin[x - (pi/3)] - 1 < 0 и 0 < 2*sin[x - (pi/3)] - 1 ≤ 1

3. Обозначим u(x) = 2*sin[x - (pi/3)] - 1, тогда исходная функция примет вид y = y₁(u) = arcctg(u). Область определения данной функции:

- 3 ≤ u < 0 и 0 < u ≤ 1

Это обозначение правомерно, так как требуется определить область значений исходной функции, и поэтому не важен закон изменения u, важны только пределы, в которых эта переменная меняется, то есть область определения

4. Функция y = arcctg(x) убывает на всей области определения, так как:

y' = [arcctg(x)]' = - 1/(1 + x²) < 0

Также в точке х = 0 односторонние пределы:

lim {x -> 0+} y(x) = lim {x -> 0+} arcctg(x) = + [$8734$]

lim {x -> 0-} y(x) = lim {x -> 0-} arcctg(x) = - [$8734$]

Поэтому при увеличении u от a (a - бесконечно малое положительное число) до 1 функция y₁(u) убывает от А (А - бесконечно большое положительное число) до числа arcctg(1) = pi/4

Также при увеличении u от (- 3) до (- a) (a - бесконечно малое положительное число) функция y₁(u) убывает от arctg(- 3) = - arctg(3) до (- А) (А - бесконечно большое положительное число)

Значит область значений функции y₁(u):

- [$8734$] < y₁(u) ≤ - arctg(3) ≈ - 1.249 и pi/4 ≤ y₁(u) < + [$8734$]

Это и есть область значений исходной функции

График можно посмотреть тут