Здравствуйте, Sasha23.

Задача 1

Область интегрирования (область D) задана условиями: - 1 [$8804$] x [$8804$] 1, 0 [$8804$] y [$8804$] [$8730$](1 - x²). Это - верхняя половина круга, образованного окружностью радиуса R = 1 и с центром в начале координат (уравнение окружности легко получить из условия y = [$8730$](1 - x²) [$8658$] y² = 1 - x² [$8658$] y² + x² = 1)

Переходим к полярным координатам по формулам: x = r*cos([$966$]), y = r*sin([$966$]). Якобиан преобразования: J = r

В полярных координатах данная область D будет определяться условием: 0 [$8804$] [$966$] [$8804$] pi, 0 [$8804$] r [$8804$] 1

Подынтегральная функция в полярных координатах имеет вид:

f(x, y) = tg(x² + y²) = tg([r*cos([$966$])]² + [r*sin([$966$])]²) = tg(r²*[cos²([$966$]) + sin²([$966$])]) = tg(r²)

[$8658$] f([$966$], r) = tg(r²)

Тогда искомый интеграл:

I = _D [$8747$] dx [$8747$] f(x,y) dy = _D [$8747$] d[$966$] [$8747$] f([$966$], r)*J dr = [$8747$]₀^pi d[$966$] [$8747$] ₀¹ tg(r²)*r*dr =

= /// вносим r² под знак дифференциала: d(r²) = (r²)' * dr = 2*r*dr /// =

= /// учитываем, что "внутренний" (который правее) интеграл не зависит от [$966$], поэтому двойной интеграл равен произведению обыкновенных определенных интегралов /// =

= { [$8747$]₀^pi d[$966$] } * { [$8747$] ₀¹ tg(r²)*(1/2)*d(r²) } = { [$966$] | ₀^pi } * (1/2) * { [$8747$] ₀¹ [ sin(r²) / cos(r²) ]*d(r²) } =

= /// вносим cos(r²) под знак дифференциала: d(cos(r²)) = (cos(r²))' * d(r²) = - sin(r²)*d(r²) /// =

= {pi - 0} * (1/2) * (- 1) * { [$8747$] ₀¹ d(cos(r²)) / cos(r²) } = - (pi/2) * ln |cos(r²)| | ₀¹ = - (pi/2) * { ln |cos(1)| - ln |cos(0)| } =

= - (pi/2) * { ln |cos(1)| - ln |1| } = - (pi/2) * { ln |cos(1)| - 0 } = - (pi/2) * ln |cos(1)| >>> 0.967

*** под знаком >>> я имел ввиду знак "приблизительно равно"
*** cos(1) [$8594$] < 1 [$8658$] ln |cos(1)| < 0

Ответ: I = - (pi/2) * ln |cos(1)| >>> 0.967


Задача 2

Тело образовано:

- плоскостью x = 0 - плоскость yOz, перпендикулярная плоскости xOy (из условия x [$8805$] 0);

- плоскостью y = 0 - плоскость xOz, перпендикулярная плоскости xOy (из условия y [$8805$] 0);

- плоскостью z = 0 - плоскость xOy (из условия z [$8805$] 0);

- плоскостью x + y = 1, перпендикулярной плоскости xOy;

- поверхностью z = x² + y² - параболоид вращения

Следовательно тело ограничено снизу плоскостью xOy (z = 0), сверху - параболоидом, по бокам - плоскостями xOz (y = 0) и yOz (x = 0) и x + y = 1

Проекция тела на плоскость xOy (z = 0) имеет вид:

Значит тело можно задать ограничениями:

0 [$8804$] x [$8804$] 1, 0 [$8804$] y [$8804$] (1 - x), 0 [$8804$] z [$8804$] (x² + y²)

Тогда объем тела равен:

V = _V [$8747$] dx [$8747$] dy [$8747$] dz = [$8747$]₀¹ dx [$8747$]₀^1-x dy [$8747$]₀^{x^2+y^2} dx = [$8747$]₀¹ dx [$8747$]₀^1-x dy * z | ₀^{x^2+y^2} =

= [$8747$]₀¹ dx [$8747$]₀^1-x dy * (x² + y² - 0) = [$8747$]₀¹ dx [$8747$]₀^1-x (x² + y²) * dy = [$8747$]₀¹ dx * (y * x² + (1/3) * y³) | ₀^1-x =

= (1/3) * [$8747$]₀¹ dx * (3 * y * x² + y³) | ₀^1-x = (1/3) * [$8747$]₀¹ [3 * (1 - x) * x² + (1 - x)³] * dx =

= (1/3) * [$8747$]₀¹ [- 4x³ + 6x² - 3x + 1] * dx = (1/3) * [- 4*(1/4)*x⁴ + 6*(1/3)*x³ - 3*(1/2)*x² + x] | ₀¹ =

= (1/3) * [- x⁴ + 2*x³ - (3/2)*x² + x] | ₀¹ = (1/3) * [- 1 + 2 - (3/2) + 1] = (1/3) * (1/2) = 1/6

Ответ: V = (1/6) единиц объема