Здравствуйте, Мария Романова.
После замены более часто встречается метод Бернулли . P=u*v => P'=u*v'+v*u' .
v*u'+u*((dv/dx)-2v*tgx)=sinx
(dv/dx)-2v*tgx=0
dv/dx=2v*tgx
INT[dv/v]=2*INT[tgxdx]
Ln|v|=-2*Ln|cosx|
v=1/((cosx)^2)
v*u'=sinx
du/dx=sinx*((cosx)^2)
INT[du]=-INT[((cosx)^2)*(-sinx)*dx] играем с минусом чтобы привести под знак дифференциала часть выражения
u=-INT[((cosx)^2)*d(cosx)]=C1-(1/3)*((cosx)^3)=u
P=u*v=y'=dy/dx=-(1/3)*cosx+[C1/((cosx)^2)]
Интегрируем в последний раз и получаем ответ .
INT[dy]=-(1/3)*INT[cosx*dx]+C1*INT[dx/((cosx^2)]
Y(x)=-(1/3)*sinx+C1*tgx+C2 .
C1 и С2 - постоянные величины .

Здравствуйте, Мария Романова.
Попробуем таки методом.

Обозначим y'=z.
Тогда данное уравнение можно переписать в виде
z'-2*z*tg(x)=sin(x). (1)

Решим сначала однородное уравнение
z'-2*z*tg(x) = 0. (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными.
dz/z = 2*tg(x)*dx
[$8747$]dz/z = [$8747$]2*tg(x)*dx
ln|z| = -2*ln|cos(x)| + C
z=C/cos²(x).

Теперь применим метод вариации произвольных постоянных.
Т.е. теперь
z(x) = C(x)/cos²(x). (3)
(C теперь не константа, а функция от x).

После подстановки в уравнение (1), получаем
(C'(x)*cos²(x)+2*C(x)*cos(x)*sin(x))/cos⁴(x) - 2*C(x)*sin(x)/cos³(x) = sin(x)
C'(x)/cos²(x) = sin(x)
C(x) = [$8747$]cos²(x)*sin(x)*dx = -[$8747$]cos²(x)*d(cos(x)) = - cos³(x)/3+С₁.

Откуда, подставляя в (3)
z(x)=-cos(x)/3 + C₁/cos²(x), где C₁=const.

Далее
y = [$8747$]z(x)*dx = [$8747$](-cos(x)/3 + C₁/cos²(x))*dx = -sin(x)/3 + C₁*tg(x) + C₂.

Ответ совпадает с приведенным в вопросе 172950.