Здравствуйте, Болдырев Тимофей.
Задача, на мой взгляд, достаточно сложная. Т.е. расчитана на подготовленных людей. Поэтому решение приведу вкратце, буквально, идейно (не останавливаясь на решении стандартных уравнений и неравенств).

Единственное, что стоит отметить, это факт того, что при решении любого уравнения необходимо учитывать его область допустимых значений (ОДЗ). При данном решении ОДЗ как таковое не формулировалось. Поэтому необходима проверка. Места, в которых нужно осуществить проверку, помечены отдельно. Проверка производится простой подстановкой найденного в процессе решения значения x в исходное уравнение: F(F(x))=x.

Само решение приведено во вложенном файле.

Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

1-ая группа вариантов: x [$8804$] 7

В этом случае внутренняя функция (назавем ее так) вычисляется по формуле: [(3x - 30) / (x - 8)]. В зависимости от полученного значения, внешняя функция вычисляется по одной из двух формул (где только дробь, или где есть синус). Рассматриваем эти варианты

Вариант А: [(3x - 30) / (x - 8)] [$8804$] 7

В этом случае формула внешней функции аналогична формуле внутренней. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств:

{ x [$8804$] 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [(3x - 30) / (x - 8)] [$8804$] 7 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

1. Рассмотрим ограничения

Второе:

[(3x - 30) / (x - 8)] [$8804$] 7 [$8660$] [(3x - 30) / (x - 8)] - 7 [$8804$] 0 [$8660$] [(- 4x + 26) / (x - 8)] [$8804$] 0 [$8660$] [(x - 6.5) / (x - 8)] [$8805$] 0

[$8658$] x [$8804$] 6.5 и x > 8

Учитывая первое условие x [$8804$] 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта:

x [$8804$] 6.5

2. Вычисляем корни уравнения

*** как далее будет видно, это единственный вариант, при котором корни вычисляются непосредственно из уравнения

F( F(x) ) = [(3x - 30) / (x - 8)] | _{x=(3x-30)/(x-8)} = [(3*{(3x - 30) / (x - 8)} - 30) / ({(3x - 30) / (x - 8)} - 8)] = [9x - 90 - 30x + 240] / [3x - 30 - 8x + 64] =

= [150 - 21x] / [34 - 5x] = x

[$8658$] 150 - 21x = 34x - 5x² [$8658$] 5x² - 55x + 150 = 0 [$8658$] x² - 11x + 30 = 0

[$8658$] x_1,2 = (11 [$177$] 1)/2 = {5; 6}

Данные корни удовлетворяют ограничению x [$8804$] 6.5

3. Проверка

При х = 5

F(x) | _x=5 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=5 = (- 15)/(- 3) = 5 [$8804$] 7

F( F(x) ) | _x=5 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=5 = 5

При х = 6

F(x) | _x=6 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=6 = (- 12)/(- 2) = 6 [$8804$] 7

F( F(x) ) | _x=6 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=6 = 6

Итак, получили два корня: х = 5 и х = 6


Вариант Б: [(3x - 30) / (x - 8)] > 7

В этом случае формула внешней функции содержит синус. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств:

{ x [$8804$] 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [(3x - 30) / (x - 8)] > 7 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

1. Рассмотрим ограничения

Второе, учитывая предыдущие выкладки:

[(3x - 30) / (x - 8)] > 7 [$8660$] 6.5 < x < 8

Учитывая первое условие x [$8804$] 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта:

6.5 < x [$8804$] 7

2. Здесь, очевидно, так как требуется найти целочисленное решение, то из полученного ограничения следует, что в этом случае возможно только одно целочисленное решение, а именно, это корень х = 7. Проверяем его

F(x) | _x=7 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=7 = (- 9)/(- 1) = 9 > 7

F( F(x) ) = { (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 } | _x=9 = (1/9)*sin(pi*9/9) + 7 = (1/9)*sin(pi) + 7 = (1/x)*0 + 7 = 7

То есть х = 7 не является решением исходного уравнения

Итак, получим один корень: х = 7


2-ая группа вариантов: x > 7

В этом случае внутренняя функция (назавем ее так) вычисляется по формуле: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ]. В зависимости от полученного значения, внешняя функция вычисляется по одной из двух формул (где только дробь, или где есть синус). Рассматриваем эти варианты

Вариант А: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] [$8804$] 7

В этом случае формула внешней функции представляет собой дробь. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств:

{ x > 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] [$8804$] 7 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

Или:

{ x > 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] [$8804$] 0 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

1. Рассмотрим ограничения

Второе:

[ (1/x)*sin(pi*x/9) ] [$8804$] 0

Так как:

[ (1/x)*sin(pi*x/9) ] = 0 [$8658$] (pi*x/9) = pi*n, где n [$8712$] Z [$8658$] x = 9n, где n [$8712$] Z

*** Z - множество целых чисел

Тогда [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] [$8804$] 0 при:

-18n[$8804$]x[$8804$]-9(2n - 1) и 9(2n - 1)[$8804$]x[$8804$]18n, где n [$8712$] N

*** N - множество натуральных чисел

Учитывая первое условие x > 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта:

9(2n - 1) [$8804$] x [$8804$] 18n, где n [$8712$] N

2. Рассмотрим уравнение

F( F(x) ) = [(3x - 30) / (x - 8)] | _{x=(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} = [(3*{(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} - 30) / ({(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} - 8)] =

= 3 * [ sin(pi*x/9) - 3x ] / [ sin(pi*x/9) - x ] = x

[$8658$] 3 * [ sin(pi*x/9) - 3x ] / [ sin(pi*x/9) - x ] = x

[$8658$] (3 - x)*sin(pi*x/9) = 9x - x²

[$8658$] sin(pi*x/9) = (9x - x²) / (3 - x) = (x² - 9x) / (x - 3)

3. Так как в полученном уравнении слева стоит синус, то данное уравнение возможно при:

- 1 [$8804$] (x² - 9x) / (x - 3) [$8804$] 1

Получим еще одну систему ограничений:

{ (x² - 9x) / (x - 3) [$8805$] - 1
{ (x² - 9x) / (x - 3) [$8804$] 1

Первое:

(x² - 9x) / (x - 3) [$8805$] - 1 [$8660$] [(x² - 9x) / (x - 3)] + 1 [$8805$] 0 [$8660$] (x² - 8x - 3) / (x - 3) [$8805$] 0 [$8660$]

[$8660$] [(x + 0.36)(x - 8.36)] / (x - 3) [$8805$] 0

*** так как квадратное уравнение в числителе не имеет целых и требуется найти целые решения исходного уравнения, то такой точности достаточно

[$8658$] - 0.36 [$8804$] x < 3 и x [$8805$] 8.36

Второе:

(x² - 9x) / (x - 3) [$8804$] 1 [$8660$] [(x² - 9x) / (x - 3)] - 1 [$8804$] 0 [$8660$] (x² - 10x + 3) / (x - 3) [$8804$] 0 [$8660$]

[$8660$] [(x - 0.31)(x - 9.69)] / (x - 3) [$8804$] 0

[$8658$] 0.31 [$8804$] x и 3 < x [$8805$] 9.69

Пересекая два полученных ограничения, получим ограничение:

- 0.36 [$8804$] x [$8804$] 0.31 и 8.36 [$8804$] x [$8804$] 9.69

4. Пересекаем полученное ограничение с ограничением для данного варианта:

{ 9(2n - 1) [$8804$] x [$8804$] 18n, где n [$8712$] N
{ - 0.36 [$8804$] x [$8804$] 0.31 и 8.36 [$8804$] x [$8804$] 9.69

получим "результирующее" ограничение:

[$8658$] 9 [$8804$] x [$8804$] 9.69

Очевидно, единственное целочисленное решение исходного уравнения может быть равно x = 9. Проверяем его:

F(x) | _x=9 = { (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 } | _x=9 = (1/9)*sin(pi*9/9) + 7 = (1/9)*sin(pi) + 7 = (1/x)*0 + 7 = 7 [$8804$] 7

F( F(x) ) | _x=7 = [(3x - 30) / (x - 8)] | _x=7 = (- 9)/(- 1) = 9

То есть х = 9 является решением исходного уравнения

Итак, получим один корень: х = 9


Вариант Б: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] > 7

В этом случае формула внешней функции содержит синус. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств:

{ x > 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] > 7 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

Или:

{ x > 7 - общее ограничение группы вариантов
{ [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0 - ограничение варианта
{ F( F(x) ) = x

1. Рассмотрим ограничения

Второе:

[ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0

Так как:

[ (1/x)*sin(pi*x/9) ] = 0 [$8658$] x = 9n, где n [$8712$] Z

Тогда [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0 при:

-9(2n + 1)<x<-18n и -9<x<0 и 0<x<9 и 18n<x<9(2n + 1), где n [$8712$] N

Учитывая первое условие x > 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта:

7<x<9 и 18n<x<9(2n + 1), где n [$8712$] N

2. Рассмотрим уравнение

F( F(x) ) = [(1/x)*sin(pi*x/9) + 7] | _{x=(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} =

= [ x / (sin(pi*x/9) + 7x) ] * sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] + 7 = x

[$8658$] [ x / (sin(pi*x/9) + 7x) ] * sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] = x - 7

[$8658$] sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] = [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ]

3. Так как в полученном уравнении слева стоит синус, то данное уравнение возможно при:

- 1 [$8804$] [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ] [$8804$] 1

При 18n<x<9(2n + 1), где n [$8712$] N:

(x - 7) / x = 1 - (7/x) > 1 - (7/18) = 11/18

sin(pi*x/9) + 7x > - 1 + 7*18 = 125

[$8658$] [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ] > (11/18)*125 ≈ 76.39

Следовательно, данное неравенство несовместно при 18n<x<9(2n + 1), где n [$8712$] N, и на этом интервале нет корней исходного уравнения

4. На интервале 7<x<9 возможно только одно целочисленное решение, а, именно, х = 8. Проверяем его:

F( F(x) ) | _x=8 = 7.09

*** из-за громоздкости выражений привел конечный результат, вычисления проверены в MathCAD'e

То есть х = 8 не является решением исходного уравнения

Итак, в этом варианте корней нет


Ответ: целочисленные решения: х = 5, х = 6, х = 7, х = 9