Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович!
1. y'(x) = { ln(5) / ln(x) }' = ln(5) * (- 1) * {1 / ln2(x)} * { ln(x) }' = - ln(5) * {1 / ln2(x)} * (1/x) = - ln(5) / {x*ln2(x)}.
2. Существует табличная формула от такого вида производных x^x=x^x * (1+lnx)
Так как у нас вместо х стоит под степенью sin(x), то (sin(x)^x)'=sin(x)^x *(x*cos(x)+ln|sin(x)|).
Удачи!

Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

Задача 1

Сначала используем свойство логарифмов:

log_ab = [ log_cb ] / [ log_ca ]

В данном случае:

y(x) = log_x5 = ln(5) / ln(x)

*** здесь приняли с = е, и учли обозначение натурального логарифма log_e ... = ln_e ...

Для нахождения производной используем формулу производной сложной функции, которая имеет вид:

если y(x) = f(u), где u = u(x), тогда y'(x) = f'_u(u) * u'_x(x)

В данном случае:

y(x) = log_x5 = ln(5) / ln(x)

Пусть u(x) = ln(x), тогда f(u) = ln(5) / u. И тогда:

f'_u(u) = ( ln(5) / u )' = - ln(5) /u² = - ln(5) / [ ln(x) ]²

u'_x(x) = ( ln(x) )' = 1 / x

[$8658$] y'(x) = - { ln(5) / [ ln(x) ]² } * { 1 / x } = - ln(5) / { x * [ ln(x) ]² }


Задача 2

Здесь:

y(x) = [ sin(x) ]^x

То есть функция представляет собой сложную показательную функцию, у которой и степень, и основание являются функциями

В подобных случаях используют логарифм функции и используют свойство логарифма log_ab^c = c * log_ab

ln( y(x) ) = ln [ sin(x) ]^x = x * ln [ sin(x) ]

Дифференцируем это уравнение по х с использованием формулы для нахождения производной сложной функции

{ ln ( y(x) )}' = { x * ln [ sin(x) ] }'

{ ln ( y )}' = (1/y) * y' = y' / y

{ x * ln [ sin(x) ] }' = { x }' * ln [ sin(x) ] + x * { ln [ sin(x) ] }'= 1 * ln [ sin(x) ] + x * [ 1 / sin(x) ] * [ sin(x) ]' =

= ln [ sin(x) ] + x * [ 1 / sin(x) ] * cos(x) = ln [ sin(x) ] + x * ctg(x)

[$8658$] y' / y = ln [ sin(x) ] + x * ctg(x)

[$8658$] y' = y * { ln [ sin(x) ] + x * ctg(x) } = [ sin(x) ]^x * { ln [ sin(x) ] + x * ctg(x) }

Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. (sinx)^x=e^(ln(sinx)^x)=e^(xlnsinx).Берем производную: e^(xlnsinx)*(lnsinx+xcosx/sinx)=(sinx)^x*(lnsinx+xctgx)