Здравствуйте, Попов Антон Андреевич.

Интеграл имеет вид:

∫ (x³ - 6x)dx / (x⁴ + 6x² + 8)

1. Раскладываем знаменатель дроби на сомножетели. Пусть x² = t, тогда выражение в знаменателе дроби примет вид t² + 6t + 8

Так корни уравнения:

t² + 6t + 8 = 0

имеют вид:

t_1,2 = - 3 [$177$] [$8730$]((- 3)² - 8) = - 3 [$177$] [$8730$](1) = - 3 [$177$] 1

t₁ = - 4, t₂ = - 2

то:

t² + 6t + 8 = (t + 4)*(t + 2)

Значит:

x⁴ + 6x² + 8 = (x² + 4)*(x² + 2)

2. Раскладываем дробь на элементарные

Пусть:

(x³ - 6x) / (x⁴ + 6x² + 8) = (x³ - 6x) / [(x² + 4)*(x² + 2)] = [ (Ax + B) / (x² + 4) ] + [ (Cx + D) / (x² + 2) ]

Тогда:

x³ - 6x = (Ax + B)*(x² + 2) + (Cx + D)*(x² + 4) = Ax³ + Bx² + 2Ax + 2B + Cx³ + Dx² + 4Cx + 4D =

= (A + C)*x³ + (B + D)*x² + (2A + 4C)*x + (2B + 4D)

Получим систему уравнений:

{ A + C = 1
{ B + D = 0
{ 2A + 4C = - 6
{ 2B + 4D = 0

Решая получим: B = D = 0, A = 5, C = - 4

Значит:

(x³ - 6x) / (x⁴ + 6x² + 8) = (x³ - 6x) / [(x² + 4)*(x² + 2)] = [ 5x / (x² + 4) ] - [ 4x / (x² + 2) ]

3. Вычисляем сам интеграл

[$8747$] (x³ - 6x)dx / (x⁴ + 6x² + 8) = [$8747$] [ 5x / (x² + 4) ]dx - [$8747$][ 4x / (x² + 2) ]dx =

= / вносим под знак интеграла знаменатели: d(x² + 4) = 2xdx, d(x² + 2) = 2xdx / =

= (5/2) * [$8747$] [ d(x² + 4) / (x² + 4) ] - (4/2) * [$8747$][ d(x² + 2) / (x² + 2) ] =

= (5/2) * ln (x² + 4) - 2 * ln (x² + 2) + C, где C = const

Ответ:

[$8747$] (x³ - 6x)dx / (x⁴ + 6x² + 8) = (5/2) * ln (x² + 4) - 2 * ln (x² + 2) + C, где C = const