Здравствуйте, Roland Deschain.

1. Проверяем необходимое условие экстремума
Для этого находим частные производные:

z(x, y) = x³ + y³ - 3xy

dz/dx = (x³ + y³ - 3xy)'_x = 3x² - 3y = 3*(x² - y)

dz/dy = (x³ + y³ - 3xy)'_y = 3y² - 3x = 3*(y² - x)

Получим систему уравнений:

{dz/dx = 3*(x² - y) = 0
{dz/dy = 3*(y² - x) = 0

Или:

{x² - y = 0
{y² - x = 0

Подставляя первое уравнение во второе, получим:

{y = x²
{x⁴ - x = 0

Итак, корни уравнения: х₁ = 0, у₁ = 0 и х₂ = 1, у₂ = 1. Получим две точки: А(0, 0) и В(1, 1) - это стационарные точки

2. Проверяем выполнение достаточного условия экстремума в стационарных точках
Находим частные производные второго порядка

d²z/dx² = (dz/dx)'_x = (3x² - 3y)'_x = 6x

d²z/dy² = (dz/dy)'_y = (3y² - 3x)'_y = 6y

d²z/(dxdy) = (dz/dx)'_y = (dz/dy)'_x = (3x² - 3y)'_y = - 3

Для точки А(0, 0):

(d²z/dx²)*(d²z/dy²) - (d²z/(dxdy))² = 6*0*6*0 - (- 3)² = - 9 < 0

Значит, точка А(0, 0) не является точкой экстремума

Для точки В(1, 1):

(d²z/dx²)*(d²z/dy²) - (d²z/(dxdy))² = 6*1*6*1 - (- 3)² = 27 > 0

d²z/dx² = 6*1 = 6 > 0, как и d²z/dy² = 6*1 = 6 > 0

[$8658$] d²z > 0 (дифференциал функции) при d²x + d²y > 0

Значит, точка В(1, 1) является точкой экстремума, а, именно, точкой минимума

И z(1, 1) = 1³ + 1³ - 3*1*1 = 1 + 1 - 3 = - 1

Итак, есть один экстремум - В(1, 1), точка минимума

Здравствуйте, Roland Deschain.

Областью определения функции z(x, y) является вся плоскость Oxy; функция z(x, y) дифференцируема в каждой точке этой плоскости.

Определим стационарные точки, применяя теорему о необходимых условиях существования экстремума:
∂z/∂x = 3x² – 3y = 0,
∂z/∂y = 3y² – 3x = 0,
или
x² – y = 0,
y² – x = 0,
или
y = x²,
x = y².
Отсюда x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = 1.
Стационарными являются точки M₁(0; 0), M₂(1; 1).

Исследуем полученные точки на достаточность условий экстремума. Имеем
∂²z/∂x² = 6x, ∂²z/(∂x∂y) = -3, ∂²z/∂y² = 6y;
в точке M₁
A = ∂²z(x₁, y₁)/∂x² = 0, B = ∂²z(x₁, y₁)/(∂x∂y) = -3, C = ∂²z(x₁, y₁)/∂y² = 0, AC – B² = 0 – 9 = -9, то есть эта точка не является точкой экстремума;
в точке M²
A = ∂²z(x₂, y₂)/∂x² = 6 > 0, B = ∂²z(x₂, y₂)/(∂x∂y) = -3, C = ∂²z(x₂, y₂)/∂y² = 6, AC – B² = 36 – 9 = 27 > 0, то есть эта точка является точкой локального минимума.
Значение функции в точке M₂ равно
z_min = z(1, 1) = 1³ + 1³ – 3 ∙ 1 ∙ 1 = -1.

С уважением.