Здравствуйте, иванов виталий витальевич.

Итак, как следует из Вашего сообщения в мини-форуме, заданное уравнение имеет вид y” + 10y’ + 25 = 0. Перепишем это уравнение следующим образом:
y" + 10y’ = -25 (1)
и рассмотрим сначала однородное уравнение
y” + 10y’ = 0. (2)

Решим характеристическое уравнение λ² + 10λ = 0: λ(λ + 10) = 0, λ₁ = 0, λ₂ = -10. Корнями характеристического уравнения являются различные действительные числа. Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид
y* = C₁e^0x + C₂e^-10x = C₁ + C₂e^-10x. (3)

Применим для нахождения частного решения уравнения (1) метод вариации произвольных постоянных. Будем искать его в виде
y** = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂,
где y₁ = 1, y₂ = e^-10x – фундаментальная система решений уравнения (2), а C₁(x), C₂(x) – решения системы дифференциальных уравнений
C₁’y₁ + C₂’y₂ = 0,
C₁’y₁’ + C₂’y₂’ = f(x),
то есть
С₁’ ∙ 1 + C₂’ ∙ e^-10x = 0,
C₁’ ∙ 0 + C₂’ ∙ (-10)e^-10x = -25.
Из второго уравнения системы находим
C₂’ ∙ (-10) e^-10x = -25,
C₂’ = (5/2)e^10x,
откуда после интегрирования получим
C₂(x) = (5/2)∫e^10xdx = (5/2)∫e^10x ∙ (1/10) ∙ d(10x) = (5/20) ∫e^10x d(10x) = (1/4)e^10x (постоянную интегрирования полагаем равной нулю).
Из второго уравнения системы находим
С₁’ ∙ 1 + (1/4)e^10x ∙ e^-10x = 0,
С₁’ + 1/4 = 0,
С₁’ = -1/4,
откуда после интегрирования получим
C₁(x) = (-1/4)∫dx = -x/4.

Следовательно, частное решение уравнения (1) имеет вид
y** = C₁(x) ∙ 1 + C₂(x) ∙ e^-10x = -x/4 + (1/4)e^10x ∙ e^-10x = -x/4 + 1/4,
а его общее решение суть
y = y* + y** = C₁ + C2e^-10x – x/4 + 1/4. (3)

Тогда
y' = -10C₂e^-10x – 1/4. (4)

Согласно условию, y(-1) = 2e⁵, y’(-1) = -4e⁵, и после подстановки этих значений в выражения (3) и (4) получим следующую систему уравнений
2e⁵ = C₁ + C₂e¹⁰ + 1/4 + 1/4,
-4e⁵ = -10C₂e¹⁰ – 1/4,
или
C₁ + C₂e¹⁰ + 1/2 = 2e⁵,
-10C₂e¹⁰ – 1/4 = -4e⁵,
решая которую, находим
-10C₂e¹⁰ = -4e⁵ + 1/4, C₂ = (-4e⁵ + 1/4)/(-10e¹⁰),
C₁ + C₂e¹⁰ + 1/2 = 2e⁵, C₁ = 2e⁵ – C₂e¹⁰ – 1/2 = 2e⁵ – (-4e⁵ + 1/4)/(-10e¹⁰)e¹⁰ – 1/2 =
= 2e⁵ + (-4e⁵ + 1/4)/10 – 1/2 = (8/5)e⁵ – 19/40,
или окончательно
C₁ = (8/5)e⁵ – 19/40, C₂ = (2/5)e^-5 – (1/40)e^-10. (5)

Из выражений (3) и (5) следует, что искомым решением задачи Коши является функция
y = (8/5)e⁵ – 19/40 + [(2/5)e^-5 – (1/40)e^-10]e^-10x – x/4 + 1/4 =
= -x/4 + [(2/5)e^-5 – (1/40)e^-10]e^-10x – 9/40 + (8/5)e⁵.

Находим значение этой функции при x₁ = 0:
y(0) = (8/5)e⁵ + (2/5)e^-5 – (1/40)e^-10 – 9/40.

Ответ: y = -x/4 + [(2/5)e^-5 – (1/40)e^-10]e^-10x – 9/40 + (8/5)e⁵; y(0) = (8/5)e⁵ + (2/5)e^-5 – (1/40)e^-10 – 9/40.

Вам нужно проверить выкладки во избежание ошибок.

С уважением.