Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 169493
16.06.2009, 23:54
0.00 руб.
0 4 1
Образование
Здравствуйте. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно p1 руб., а стенок - p2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими? Спасибо

Обсуждение

Неизвестный
17.06.2009, 10:51
общий
В приведенном ответе несколько ошибок.
Во-первых, неправильно выполнено дифференцирование функции:
p (R) = p[sub]1[/sub]пR[sup]2[/sup] + 2p[sub]2[/sub]V/R
Тогда p' (R) = 2p[sub]1[/sub]пR - 2p[sub]2[/sub]V/R[sup]2[/sup]
Отсюда получаем, что R = (p[sub]2[/sub]V / (p[sub]1[/sub]п))[sup]1/3[/sup]
Во-вторых, совсем неправильно вычислена высота бака
Высота бака равна:
H = V / (пR[sup]2[/sup]) = V / (п(p[sub]2[/sub]V / (p[sub]1[/sub]п))[sup]2/3[/sup])
Отсюда получаем, что
H = ((V / п) * (p[sub]1[/sub] / p[sub]2[/sub])[sup]2[/sup])[sup]1/3[/sup]
Неизвестный
17.06.2009, 19:01
общий
_Ayl_:
Вы совершенно правы. Моё решение с ошибками.
Ответ я удалил. Можете отправить правильное решение.
Неизвестный
17.06.2009, 19:03
общий
Попов Антон Андреевич:
Прошу прощения, мой ответ был с ошибками (см. замечания эксперта _Ayl_ в мини-форуме).
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18353
17.06.2009, 21:33
общий
это ответ
Здравствуйте, Попов Антон Андреевич.

Развертка открытого цилиндрического бака состоит из дна с площадью S1 и боковой поверхности с площадью S2, причем
S1 = πR2,
S2 = 2πRh,
где R – радиус бака, h – высота бака.

Стоимость материалов будет равна
y = p1S1 + p2S2 = p1πR2 + 2p2πRh. (1)

Задача сводится к нахождению минимума функции (1) при условии, что
V = πR2h. (2)

Из выражения (2) получаем
h = V/(πR2)
и подставляя это выражение в формулу (1), имеем
y = p1πR2 + 2p2V/R,
dy/dR = 2p1πR - 2p2V/R2. (3)

Приравнивая производную (3) нулю, получаем
2p1πR - 2p2V/R2 = 0,
p1πR = p2V/R2,
R3 = p2V/(p1π),
R = 3√(p2V/(p1π)).

Поскольку
d2y/dR2 = 2p1π + 4p2V/R3,
и при R = 3√(p2V/(p1π)) d2y/dR2 = 2p1π + 4p2Vp1π/(p2V) = 2p1π + 4p1π = 6p1π > 0,
постольку
R = 3√(p2V/(p1π)) = R* – радиус бака, при котором функция (1) имеет минимум.

Из формулы (2) находим, что указанному выше значению радиуса бака соответствует высота
h* = V/(πR*2) = V/[π(p2V/(p1π))2/3] = p1R/p2.

Ответ: R = 3√(p2V/(p1π)), h = p1R/p2.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа